《结构力学》第十一章 影响线及其应用

§11—7 利用影响线求量值 前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影 响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。 1. 集中荷载 某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用 在已知位置。据叠加原理 P P R P S=P y +P y +…+P y =∑P y (11－1)
1 1 2 2 n n i i
返回
3. 简支梁的影响线
x
RA
P=1 K
RB
（1）反力影响线
RA影响线 由∑MB=0 有
1
⊕
RA影响线
yK
0 1
0
⊕
RB影响线
Lx Lx 得 RA=P L L (0≤x≤L)
RAL－P(L－x)=0
当
由∑MA=0 有
RB影响线
x=0, RA=1 x=L, RA=0
RBL－Px=0 x RB= (0≤x≤L) L
2. 分布荷载 将分布荷载沿长度分 每一 成许多无穷小的微段， 微段dx上的荷载为 qxdx， 则ab区段内分布荷载产生的 影响量
qx

qxdx
dx
a
y
b S影响线
q
S= q x ydx （11—3）
a
b
当为均布荷载（q=常数）
a
S= q ydx q
a
b
ω
(11—4）
b
S影响线
返回 式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。
规律各不相同，即使同一截面，不同
的内力变化规律也不相同，解决这个 复杂问题的工具就是影响线。
返回
2. 最不利荷载位置
某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位 例如：见图。 置。 P=1 P=1 P=1 P P=1 P=1 工程中的移动荷载 A B 通常是由很多间距不变 1 2 3 RA 1 的竖向荷载所组成，其 3/4 1/2 1/4 类型是多种多样的，不 0 可能逐一加以研究。 为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位 集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后 据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。 例如：见图。 这样所得的图形就表示了 P=1在梁上 移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的 返回 影响线。
⊕
QA右影响线
1
⊖
绘制QA右影响线
返回
§11—3 间接荷载作用下的影响线 1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。 计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁 简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。
K
a
P=1
L
首先分析几何组 成并绘层叠图。 绘制MK的影响线
1
MK影响线 1
a
0 0
当P=1在CE 段上移动时 EF段上移动时 x 绘制 QB左的影响线 M 影响线与 CE段单独 K CE梁相当于在结 此时 VE 作为一伸臂梁相同。 RF 点 E处受到VE的作用 按上述步骤绘出 QB左 L x段上移动时 当P=1在 AC E VE= 影响线如图。 L MK=0 故MK影响线在EF段为 QB左影响线 返回 直线。
纵梁 P 横梁（结点） 主梁
返回
2. 间接荷载影响线的绘制方法
P=1 P=1 P=1 A C D y E P=1 B
以绘制MC影响线为例
（1）首先，将P=1移动到各 结点处。 其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。
yD
yE
P=1
x
d
MC影响线
dx d
x d
接荷载作用下MC影响线在D、 E处的竖标为 yD、yE ， 在上述 两结点荷载作用下MC值为
（2）其次，当P=1在DE间移 动时，主梁在D、E处分别受到 dx x 结点荷载 d 及 的作用。 设直
d
dx x y= d y D d y E（直线方程）
x=0, y=yD x=d, y=yE
返回
3. 结 论
绘制间接荷载作用下影响线的一般方法： （1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。 （2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁 范围内连成直线。 P=1
习题 11—10
8
0
1.5
MC影响线 0 0 3 MK影响线 QC左影响线
1 1
0
0
1
QC右影响线
0
返回
§11—6 桁架的影响线 1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨 静定梁相同，故二者反力影响线相同。
2. 用静力法作桁架内力影响线，其计算方法
与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截
面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求
2. 机动法简介
P=1
B
P
B
A=1
RA=－P
虚功方程为
RAA+PP=0 P RA=－ A
此时，虚位移图P便代表了 RA的影响线。 返回
3 .机动法
由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线， 只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发 生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即 代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。 机动法的优点 在于不必经过具体 A 计算就能迅速绘出 影响线的轮廓。 A1
例：用机动法绘 MC影响线
C
a
1
P=1
b
B
a A

P
(
B
返回
解：MC(+)+PP=0
令 +=1
AA1= a
MC C M C
§11—5 多跨静定梁的影响线 1. 多跨静定梁影响线绘制步骤 首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力 关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影 2. 举例说明 响线即可绘出。
C
x=L,
MC=0
4. 伸臂梁的影响线
（1）反力影响线 由平衡条件求得 （ 2）跨内部分截面 Lx 内力影响线 RA= L (-L1≤x≤ x Q 影响线 L+L ) M 、 2 R = C C B
L
D
A
RA
x
a
1
x
P=1
C
P=1
B b
RB
E
⊕
RA影响线
⊖
1
当 P=1在DC段移动 时，取截面C以右部分 RB影响线 为隔离体 有 MC=RBb QC=－RB 当 P=1在CE段移动 MC影响线 时，取截面C以左部分 为隔离体 有 QC影响线 MC=RAa QC=RA
B
0 返回
RA的影响线
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 1. 绘制影响线的基本方法： 静力法和机动法。 2. 静力法：
将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标
系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后
根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x
之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，
再根据方程作出影响线图形。
第十一章 影响线及其应用
§11—1 概述 §11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11—3 间接荷载作用下的影响线 §11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11—5 多跨静定梁的影响线 §11—6 桁架的影响线 §11—7 利用影响线求量值 §11—8 铁路和公路的标准荷载制 §11—9 最不利荷载位置 §11—10 换算荷载 §11—11 简支梁的绝对最大弯矩 §11—12简支梁的包络图
ab/L b MC影响线 QC影响线
x=0, MC=0 当 隔离体 ab x=a, MC= L a) QC=－RB (0≤x＜ 当 P=1在截面C以右移动时, 取截面 以左部分为隔离体 为QC 的左直线。
C
取截面 C以右部分为
-a
L

1
MP=1 a= (a≤x≤L) 当 在 CB段上移动时 , 取截面 C以左部分为隔离体 ab C=RA x=a, MC= L 返回 QC=RA (a＜x≤L) (右直线 ) 即M 影响线的右直线。 当
§11—8 公路标准荷载制 公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况 复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是 以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经 过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情 况，又适当考虑了将来的发展。 我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为计算荷载 和验算荷载两种。
计算荷载以汽车车队表示，有汽车—10级、汽车— 15级、汽车—20级和汽车—超20级四个等级（见书上图 11-22）。验算荷载有履带—50、挂车—80、挂车—100 和挂车—120等四种。 返回
§11—9 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即 为最不利荷载位置。 在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置 的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或 最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分 几种情况讨论。
1. 问题的提出 工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷 载的作用。 例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力 和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必 须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
§11—1 概述
返回
为了解决这个问题，需要研究荷
载移动时反力和内力的变化规律。然
而不同的反力和不同截面的内力变化
例题
a
RB影响线 MK影响线 a
0
K
1
QK影响线（练习）
返回
§11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线
静力法和机动法是作影响线的两种基本
方法。 1.机动法的依据—— 虚位移原理 虚位移原理： 即刚体体系在力系作用下处 于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的 虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。
返回
A 以简支梁为例。 作反力RA的影响线，为 求反力RA，去掉与其相应 的联系即A处的支座，以正 A 1 A 向反力代替。 此时，原结构变成了有 RA 一个自由度的几何可变体 系，给此体系微小虚位移。 令
a
b
1
1 回 返
(3)伸臂部分截面内力影响线 D x K d
P=1 P=1
绘制MK、QK影响线 E 当P=1在DK 段上移动时 取K以左为隔离体 MK=－x QK=－1 当P=1在KE 段上移动时
d
1 1
⊖ ⊖
0
MK影响线 QK影响线
⊖
QA左影响线
1
⊕
取K以左为隔离体 MK=0 QK=0
绘制QA左影响线
当
x=0, RB=0 x=L, RB=1
返回
（2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当3 P=1 在截面C以左移动时, （ ）剪力影响线 RA
a 0 1
x x
x P=1 P=1 a
x
C

P=1
b
RB
取截面C以右部分为隔离体 绘制 Q x C的影响线 MC=RBb= b (0≤x≤a) L 段上移动时, 当 P=1在AC 即MC影响线的左直线。
出P=1在不同位置时内力的影响线方程。
下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线
的绘制方法。
返回
3. 作桁架的影响线
Ⅰ
解：
绘S12影响线 用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ 截面。
P=1
Ⅰ
P=1
RA
A
P=1
当 － B 当P=1 P=1在 在2 A － 1间移动时 间移动时 R P=1 B 取左部为隔离体， B 取右部为隔离体， 由∑M5=0 有 由∑ 有 5=0 RM A×3d－S12h=0 R × 5d S12h=0 3d－ SB = R 12 A 5h d S12 = RB 1-2）内 当P=1 在节间（ h S12影响线 移动时，S12的影响线 为一直线。 返回
P=1
3. 结论
由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法 如下： （1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线 与相应单跨静定梁相同。 （2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁 段上移动时，量值影响线的竖标为零。 （3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁 段上移动时，量值影响线为直线。 此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便 返回 的（课后自行练习）。
1 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若集中力作用在影响线某 一直线范围内，则有
S=P1y1+P2y2+…+Pnyn =(P1x1+P2x2+…+Pnxn)tg =tg∑Pixi
0 x
1
y1
y2
yn S影响线
o
y1
x2
y2
y
yn
S影响线
据合力矩定理 ∑Pixi=R x 故有 S=R x tg=Ry (11－2)
x
返回
3. 影响线的定义
当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下） 沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称 为该量值的影响线。 某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
P=1 A RA
1
1 3/4
P=1 P=1 P P=1
2
1/2
P=1
3
1/4
1. 一个集中荷载 最不利荷载位置可直观判断。
S影响线 P P
Smax
Smin
返回
2. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等） 由式 可知
S=q
S影响线
3. 行列荷载 ： 一系列间距不变 的移动集中荷载
Smax Smin
但据最不 行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。 利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求 量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到 邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移 返回 动时S的增量入手解决这个问题。