《结构力学》第十一章 影响线及其应用

K
a
P=1
L
首先分析几何组 成并绘层叠图。 绘制MK的影响线
1
MK影响线 1
a
0 0
当P=1在CE 段上移动时 EF段上移动时 x 绘制 QB左的影响线 M 影响线与 CE段单独 K CE梁相当于在结 此时 VE 作为一伸臂梁相同。 RF 点 E处受到VE的作用 按上述步骤绘出 QB左 L x段上移动时 当P=1在 AC E VE= 影响线如图。 L MK=0 故MK影响线在EF段为 QB左影响线 返回 直线。
3. 影响线的定义
当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下） 沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称 为该量值的影响线。 某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
P=1 A RA
1
1 3/4
P=1 P=1 P P=1
2
1/2
P=1
3
1/4
§11—8 公路标准荷载制 公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况 复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是 以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经 过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情 况，又适当考虑了将来的发展。 我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为计算荷载 和验算荷载两种。
例题
a
RB影响线 MK影响线 a
0
K
1
QK影响线（练习）
返回
§11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线
静力法和机动法是作影响线的两种基本
方法。 1.机动法的依据—— 虚位移原理 虚位移原理： 即刚体体系在力系作用下处 于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的 虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。
返回
A 以简支梁为例。 作反力RA的影响线，为 求反力RA，去掉与其相应 的联系即A处的支座，以正 A 1 A 向反力代替。 此时，原结构变成了有 RA 一个自由度的几何可变体 系，给此体系微小虚位移。 令
⊕
QA右影响线
1
⊖
绘制QA右影响线
返回
§11—3 间接荷载作用下的影响线 1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。 计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁 简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。
1. 一个集中荷载 最不利荷载位置可直观判断。
S影响线 P P
Smax
Smin
返回
2. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等） 由式 可知
S=q
S影响线
3. 行列荷载 ： 一系列间距不变 的移动集中荷载
Smax Smin
但据最不 行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。 利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求 量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到 邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移 返回 动时S的增量入手解决这个问题。
a
b
1
1 回 返
(3)伸臂部分截面内力影响线 D x K d
P=1 P=1
绘制MK、QK影响线 E 当P=1在DK 段上移动时 取K以左为隔离体 MK=－x QK=－1 当P=1在KE 段上移动时
d
1
⊖ ⊖
0
MK影响线 QK影响线
⊖
QA左影响线
1
⊕
取K以左为隔离体 MK=0 QK=0
绘制QA左影响线
1. 问题的提出 工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷 载的作用。 例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力 和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必 须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
§11—1 概述
返回
为了解决这个问题，需要研究荷
载移动时反力和内力的变化规律。然
而不同的反力和不同截面的内力变化
B
0 返回
RA的影响线
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 1. 绘制影响线的基本方法： 静力法和机动法。 2. 静力法：
将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标
系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后
根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x
之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，
再根据方程作出影响线图形。
2. 机动法简介
P=1
B
P
B
A=1
RA=－P
虚功方程为
RAA+PP=0 P RA=－ A
此时，虚位移图P便代表了 RA的影响线。 返回
3 .机动法
由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线， 只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发 生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即 代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。 机动法的优点 在于不必经过具体 A 计算就能迅速绘出 影响线的轮廓。 A1
纵梁 P 横梁（结点） 主梁
返回
2. 间接荷载影响线的绘制方法
P=1 P=1 P=1 A C D y E P=1 B
以绘制MC影响线为例
（1）首先，将P=1移动到各 结点处。 其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。
yD
yE
P=1
x
d
MC影响线
dx d
x d
接荷载作用下MC影响线在D、 E处的竖标为 yD、yE ， 在上述 两结点荷载作用下MC值为
例：用机动法绘 MC影响线
C
a
1
P=1
b
B
a A

P
(
B
返回
解：MC(+)+PP=0
令 +=1
AA1= a
MC C M C
§11—5 多跨静定梁的影响线 1. 多跨静定梁影响线绘制步骤 首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力 关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影 2. 举例说明 响线即可绘出。
习题 11—10
8
0
1.5
MC影响线 0 0 3 MK影响线 QC左影响线
1 1
0
0
1
QC右影响线
0
返回
§11—6 桁架的影响线 1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨 静定梁相同，故二者反力影响线相同。
2. 用静力法作桁架内力影响线，其计算方法
与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截
面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求
出P=1在不同位置时内力的影响线方程。
下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线
的绘制方法。
返回
3. 作桁架的影响线
Ⅰ
解：
绘S12影响线 用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ 截面。
P=1
Ⅰ
P=1
RA
A
P=1
当 － B 当P=1 P=1在 在2 A － 1间移动时 间移动时 R P=1 B 取左部为隔离体， B 取右部为隔离体， 由∑M5=0 有 由∑ 有 5=0 RM A×3d－S12h=0 R × 5d S12h=0 3d－ SB = R 12 A 5h d S12 = RB 1-2）内 当P=1 在节间（ h S12影响线 移动时，S12的影响线 为一直线。 返回
第十一章 影响线及其应用
§11—1 概述 §11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11—3 间接荷载作用下的影响线 §11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11—5 多跨静定梁的影响线 §11—6 桁架的影响线 §11—7 利用影响线求量值 §11—8 铁路和公路的标准荷载制 §11—9 最不利荷载位置 §11—10 换算荷载 §11—11 简支梁的绝对最大弯矩 §11—12简支梁的包络图
计算荷载以汽车车队表示，有汽车—10级、汽车— 15级、汽车—20级和汽车—超20级四个等级（见书上图 11-22）。验算荷载有履带—50、挂车—80、挂车—100 和挂车—120等四种。 返回
§11—9 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即 为最不利荷载位置。 在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置 的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或 最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分 几种情况讨论。
2. 分布荷载 将分布荷载沿长度分 每一 成许多无穷小的微段， 微段dx上的荷载为 qxdx， 则ab区段内分布荷载产生的 影响量
qx

qxdx
dx
a
y
b S影响线
q
S= q x ydx （11—3）
a
b
当为均布荷载（q=常数）
a
S= q ydx q
a
b
ω
(11—4）
b
S影响线
返回 式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。
P=1
3. 结论
由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法 如下： （1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线 与相应单跨静定梁相同。 （2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁 段上移动时，量值影响线的竖标为零。 （3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁 段上移动时，量值影响线为直线。 此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便 返回 的（课后自行练习）。
ab/L b MC影响线 QC影响线
x=0, MC=0 当 隔离体 ab x=a, MC= L a) QC=－RB (0≤x＜ 当 P=1在截面C以右移动时, 取截面 以左部分为隔离体 为QC 的左直线。
C
取截面 C以右部分为
-a
L

1
MP=1 a= (a≤x≤L) 当 在 CB段上移动时 , 取截面 C以左部分为隔离体 ab C=RA x=a, MC= L 返回 QC=RA (a＜x≤L) (右直线 ) 即M 影响线的右直线。 当
（2）其次，当P=1在DE间移 动时，主梁在D、E处分别受到 dx x 结点荷载 d 及 的作用。 设直
d
dx x y= d y D d y E（直线方程）
x=0, y=yD x=d, y=yE
返回
3. 结 论
绘制间接荷载作用下影响线的一般方法： （1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。 （2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁 范围内连成直线。 P=1
当
x=0, RB=0 x=L, RB=1
返回
（2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当3 P=1 在截面C以左移动时, （ ）剪力影响线 RA
a 0 1
x x
x P=1 P=1 a
x
C

P=1
b
RB
取截面C以右部分为隔离体 绘制 Q x C的影响线 MC=RBb= b (0≤x≤a) L 段上移动时, 当 P=1在AC 即MC影响线的左直线。
1 2 n
若集中力作用在影响线某 一直线范围内，则有
S=P1y1+P2y2+…+Pnyn =(P1x1+P2x2+…+Pnxn)tg =tg∑Pixi
0 x
1
y1
y2
yn S影响线
o
y1
x2
y2
y
yn
S影响线
据合力矩定理 ∑Pixi=R x 故有 S=R x tg=Ry (11－2)
x
返回
规律各不相同，即使同一截面，不同
的内力变化规律也不相同，解决这个 复杂问题的工具就是影响线。
返回
2. 最不利荷载位置
某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位 例如：见图。 置。 P=1 P=1 P=1 P P=1 P=1 工程中的移动荷载 A B 通常是由很多间距不变 1 2 3 RA 1 的竖向荷载所组成，其 3/4 1/2 1/4 类型是多种多样的，不 0 可能逐一加以研究。 为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位 集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后 据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。 例如：见图。 这样所得的图形就表示了 P=1在梁上 移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的 返回 影响线。
§11—7 利用影响线求量值 前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影 响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。 1. 集中荷载 某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用 在已知位置。据叠加原理 P P R P S=P y +P y +…+P y =∑P y (11－1)
1 1 2 2 n n i i
返回
3. 简支梁的影响线
x
RA
P=1 K
RB
（1）反力影响线
RA影响线 由∑MB=0 有
1
⊕
RA影响线
yK
0 1
0
⊕
RB影响线
Lx Lx 得 RA=P L L (0≤x≤L)
RAL－P(L－x)=0
当
由∑MA=0 有
RB影响线
x=0, RA=1 x=L, RA=0
RBL－Px=0 x RB= (0≤x≤L) L
C
x=L,
MC=0
4. 伸臂梁的影响线
（1）反力影响线 由平衡条件求得 （ 2）跨内部分截面 Lx 内力影响线 RA= L (-L1≤x≤ x Q 影响线 L+L ) M 、 2 R = C C B
L
D
A
RA
x
a
1
x
P=1
C
P=1
B b
RB
E
⊕
RA影响线
⊖
1
当 P=1在DC段移动 时，取截面C以右部分 RB影响线 为隔离体 有 MC=RBb QC=－RB 当 P=1在CE段移动 MC影响线 时，取截面C以左部分 为隔离体 有 QC影响线 MC=RAa QC=RA