第30讲 概率初步(含答案点拨)

第30讲概率初步

考纲要求命题趋势

1．能正确指出自然和社会现象中的

一些必然事件、不可能事件、不确定

事件．

2．能从实际问题中了解概率的意义，

能用列举法计算随机事件发生的概

率．

3．能用大量重复试验时的频率估计

事件发生的概率.

概率是中考命题的必考点，选材

多来自游戏、抽奖等生活题材，主要

考查必然事件、不可能事件及随机事

件的区别，用列表、画树状图法求简

单事件发生的概率以及用频率估计

概率，题型以填空题、选择题及解答

题的形式出现.

知识梳理

一、事件的有关概念

1．必然事件

在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．

2．不可能事件

在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．

3．随机事件

在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．

4．分类

事件

?

?

?确定事件

??

?

??必然事件

不可能事件

随机事件

二、用列举法求概率

1．定义

在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．

2．适用条件

(1)可能出现的结果为__________多个；

(2)各种结果发生的可能性__________．

3．求法

(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；

(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；

(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．

列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．

三、利用频率估计概率

1．适用条件

当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．

2．方法

进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．

四、概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸

奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．

自主测试

1．下列说法正确的是( ) A ．打开电视机，正在播放新闻

B ．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个

C ．调查某品牌饮料的质量情况适合普查

D ．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑 2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )

A ．14

B ．316

C ．3

4

D ．

3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．

4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．

(1)每位考生有__________种选择方案；

(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A ，B ，C ，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)

考点一、事件的分类

【例1】下列事件属于必然事件的是( )

A ．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾

B ．明天我市最高气温为56 ℃

C ．中秋节晚上能看到月亮

D ．下雨后有彩虹 解析：区分事件发生的可能性，应注意积累生活经验和一些基本常识，然后再予以判断． 答案：A

方法总结 如何判断事件发生的可能性，我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经验，或者经过严谨的推理得到事实等．

触类旁通1 下列事件中，为必然事件的是( ) A ．购买一张彩票，中奖 B ．打开电视，正在播放广告 C ．抛掷一枚硬币，正面向上

D ．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球 考点二、用列举法求概率

【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．

(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；

(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．

分析：游戏是否公平，应该根据事件发生的概率大小确定，用列表法或画树状图求出各事件发生的概率，然后再判断游戏是否公平．

解：用树状图法：

或列表法：

由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．

(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A )有3种可能结果，P (A )＝3

16

.

(2)这个游戏公平，理由如下：

两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8种可能结果，P (B )＝816＝1

2.

两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C )有8种可能结果，P (C )＝816＝1

2

.

两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．

方法总结 1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现

的结果，再代入P (A )＝m

n

计算．

2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．

3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．

触类旁通2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，

(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；

(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．

考点三、频率与概率

【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次

(1)试求“4(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？

解：(1)“4点朝上”出现的频率是23

100＝0.23.

“5点朝上”出现的频率是20

100

＝0.20.

(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．

方法总结 在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．

触类旁通 3 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关

(1)(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率． 考点四、概率的应用

【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．

(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？

(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．

解：(1)P (抽到牌面花色为红心)＝1

3

.

(2)游戏规则不公平． 理由如下：

由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．

P (抽到牌面花色相同)＝39＝1

3，

P (抽到牌面花色不相同)＝69＝2

3

.

∵13＜2

3

，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大． 方法总结 游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．

触类旁通4 (1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )

A ．14

B ．12

C ．3

4

D ．1

(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机

选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )

A ．19

B ．13

C ．23

D ．29

1．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀

后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )

A ．23

B ．12

C ．1

3

D ．1

2．(2012浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )

A ．35

B ．710

C ．310

D ．1625

3．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )

A ．摸到红球是必然事件

B ．摸到白球是不可能事件

C ．摸到红球与摸到白球的可能性相等

D ．摸到红球比摸到白球的可能性大

4．(2012四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．

5．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．

6．(2012四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．

7．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．

8．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．

(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？

(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．

1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．16

2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相

同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为2

3

，则黄球的个数为( )

A ．2

B ．4

C ．12

D ．16

3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为1

2

，下列说法错误的是( )

A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次

D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

4．在x 2 2xy y 2的空格 中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )

A ．1

B ．3

4

C ．12

D ．14

5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)

6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．

7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P (3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P (4)，则P (3)__________P (4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)

8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．

(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；

(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．

参考答案

导学必备知识 自主测试

1．B 2．A 3．600 4．解：(1)4

(2)把4种方案分别列为：

A ：立定跳远、坐位体前屈；

B ：实心球、1分钟跳绳；

C ：立定跳远、1分钟跳绳；

D ：实心球、坐位体前屈．

画树状图如下：

∴P (小明与小刚选择同种方案)＝416＝1

4

.

探究考点方法 触类旁通1．D

触类旁通2．解：

所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P ＝212＝1

6

.

(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙

的情况有一种，所以P (恰好选中乙同学)＝1

3

.

触类旁通3．解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.

(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.

触类旁通4．(1)B 在四个图案中，是中心对称图形的图案有2个，所以正面图案是中

心对称图形的概率为1

2

.

(2)A 列树形图可知共有9种等可能的结果，所以上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎

山这两个地点的概率是1

9

.

品鉴经典考题

1．A 因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白

球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝2

3

.

2．B ∵将一名只会翻译阿拉伯语用A 表示，三名只会翻译英语都用B 表示，一名两种语言都会翻译用C 表示，画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，

∴该组能够翻译上述两种语言的概率为1420＝7

10

.

3．D 摸到红球是随机事件，故选项A 错误； 摸到白球是随机事件，故选项B 错误；

根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C 错误；

根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D 正确．

4．12 因为所有的可能有1,2,3,4,5,6，是偶数的可能有2,4,6，所以概率为P ＝36＝12. 5．随机 因为抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．

6．1

9

因为所有可能有：直行、直行；直行、左转；直行、右转；左转、直行；左转、左转；左转、右转；右转、直行；右转、左转；右转、右转．两辆汽车都向右转只有一次，

所以概率为P ＝1

9

.

7．1

4

因为长度为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm 的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；

2,4,7；3,4,7四种情况，而能组成三角形的有2,3,4，共有1种情况，

所以能组成三角形的概率是1

4

.

8．解：(1)P (白子)＝1

4

.

(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：

∴P (一黑一白)＝612＝1

2

.

方法二：所有等可能的结果，列表如下.

∴P (一黑一白)＝612＝1

2

.

研习预测试题

1．D 2．B 3．A 4．C 5．23 6．1

3

7．＞

8．解：(1)∵P (小明胜)＝35，P (妹妹胜)＝2

5

，

∴P (小明胜)≠P (妹妹胜)． ∴这个办法不公平．

(2)当x ＞3时对小明有利，当x ＜3时对妹妹有利， 当x ＝3时是公平的．