第三章_多维随机变量及其分布测试题答案1 1
概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章
第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
第3章多维随机变量及其分布试题答案
第3章多维随机变量及其分布试题答案、选择（每小题 2分）1、设二维随机变量的分布律为则 P{ X Y = 0} = ( C ) (A) 0.2(B)0.5(C) 0.6(D) 0.7”c, —1 c x c 1,-1 < y c 12、设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为f(x, y)=」，则常数0, otherC =( A )1 1 (A)-(B) -(C) 2 (D)4423、设二维随机变量（X ,Y ）的分布律为设P jj = P{X =i,^ j}, i, j =0,1，则下列各式中错误的是（ D ） （A ） P 00 ：： P 01（B ） P 10 ：：：P 11 （C ） P 00 ：：P 11 （D ） P 10 ：：：P 014、设二维随机变量的分布律为则 P{X 二Y}=(A ) (A)0.3(B) 0.5(C) 0.7(D)0.8• V -Ae*e y , x > 0, y a 0 门宀*..5、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f(x,y)，则常数A = ,0, other(D )(B) 16、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为则 P{XY =0} = (C )7、设二维随机变量）的分布律为为其联合分布函数，则 = （D ）3 310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x, y ），则F （x, •：：）=（ B ） (D)2(A) (B)12(C) (D)11 (B) 12(C)1(D)4-X T e e f (x, y)= \ 0,X 0, y 0，则 P{ X 一 Y}= other（B ）1123(A)—(B)-(C)-(D)—4 23 4它们取-1，1两个值的概率分别 1 31，-，则 P{ XY —1}=4 4(A)1 16(B)花(C)(D)(A) 0(B) F X (x) (C) F Y (y) (D) 1 8、设二维随机变量（X ，丫）的概率密度为 9、设随机变量X 与Y 独立同分布,11、设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N(3,4) , Y 〜N(2,9)，则Z = 3X Y ~ ( D ) (A)N(7,21)(B)N(7,27)(C)N(7,45)(D)N(11,45)12、设二维随机变量的联合分布函数为 ，其联合概率分布为则 F(0,1)=( B )则 k =( B )贝U P{XY =2} =( C )0^y 乞1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f Y (y)= ( D )(A)0.2(B)0.5(C) 0.713、设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为(D) 0.8k(x y), 0 _ x _ 2,0 _ y _ 1 other(A)(B) (C) (D)(A)0.2(B) 0.3(C) 0.515、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(D) 0.6f (x, y)= ；4xy,b,0乞x 乞1,0乞y乞1 other，则当(A)2； (B)2x(C)1 2y(D) 2y(B) 2「=1(C) > - 1J = 2 (D) .9 93 3 3 3-7、设二维随机变量的分布律为18、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为20、设（X ，Y ）的概率分布如下表所示，当 X 与Y 相互独立时，p,q ）=（ C ）则有（B ） (A)(A)1 12(B)1 (C)3(D)(A) a = 0.2, b = 0.6 (B) a = 0.1, b = 0.9 (C)a = 0.4,b = 0.4(D) a = 0.6, b = 0.219、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为1f (x, y) = < 40,0 ：： x 2,0 ：y ：： 2 则 P{0：： X ::: 1,0 :： Y ::: 1} =( A )1(A)4(B)23(C)4(D) 1P{X 1X 2 =0} =1，贝y P{X 1 =X 2}= (A )24、设两个相互独立随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N （0,1）和N （1,1），则（B ） 1 1 (A)P{ X Y - 0}(B) P{ X Y -1} 22 1 1 (C) P{X -Y _0}(D) P{X - Y _1}=221 解：由Z = X Y ~ N(1,2)，其分布密度关于1对称，故P{X Y -1}=-。
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
0 0求a 。
解：由分布律的性质，得p j 1,a 0，即丄一一 一 a — 1, a 0,i jJ6 9 18 392解得，a 三。
9注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设（X,Y ）的分布函数为F （x,y ），试用F （x, y ）表示： （1）P{a X b,Y c} ；（2）P{0 Y b} ；（3）P{X a,Y b}。
解：根据分布函数的定义 F （x, y ） P{X x,Y y}，得(1) P{a X b,Y c} P{X b,Y c} P{X a,Y c} F(b,c ) F(a ,c )； (2) P{0 Y b} P{X ,Y b} P{X,Y 0}F( ,b )F( ,0)； (3) P{X a,Y b} P{X,Y b} P{X a,Y b} F( ,b )F(a ,b )3、设二维随机变量（X,Y ）的分布函数为F （x, y ），分布律如下:1 3试求：(1)P{- X ,0 Y 4} ；(2)P{1 X 2,3 Y 4} ；(3)F (2,3) o2 2解：由（X,Y ）的分布律，得习题3-11、设（X,Y ）的分布律为(1) P{1 X2 3一 ,0 Y 4}2 P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1 11,Y 3}； 0 0 ；；(2) P{1 X 2,3 Y 4} P{X1,Y 3} P{X 1,Y4} P{X2,Y 3} P{X2,Y 4}1 16 5 ； 16；21200200(3) F(2,3)P{X 2,Y 3} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1,Y 3}P{X 2,Y1} P{X 2,Y2} P{X2,Y 11 13} — 0 0416 49 164、设 X ， Y 为随机变量，且P{ X 0,Y0} 3/ 7, P{X0}P{Y 0}4/ 7，求P{max( X,Y) 0}。
解：P{max( X,Y) 0}P{( X O)U(Y 0)} P{X 0} P{Y 0} P{X 0,Y 0} 5/ 7。
概率论与数理统计 多维随机变量及其分布习题答案
A e2xdx e3y dy
0
0
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
2 03 0
=A/6 =1
所以, A=6
P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy {X2,Y1}
2
dx
1 6e(2x3 y)dy
0
0
6 2 e2xdx 1e3ydy
0
0
Y
1
{X<2, Y<1} 0
(1 e4 )(1 e3 )
令:从表中的每一种情况出现的次数计算出
它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布:
P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,
P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,
P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
-1 0.05 0.1 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
12
1
0 13
2
13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。
多维随机变量及其分布习题答案
第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：()1 在有放回抽样情形下(),X Y 的可能取值为()()()()0,0,0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为()1110,05525P X Y ===⨯=，()1440,15525P X Y ===⨯= ()4141,05525P X Y ===⨯=，()44161,15525P X Y ===⨯=即(),X Y 的联合分布律为：()2 在不放回抽样的情形下(),X Y 的可能取值为()()()0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为()1410,1545P X Y ===⨯=，()4111,0545P X Y ===⨯= ()4331,1545P X Y ===⨯=即(),X Y 的联合分布律为：2. 解：()1 由(),X Y 的联合分布律的性质：111iji j p+∞+∞===∑∑可知0.070.180.150.080.201a +++++=， 0.32a =得()()()()(2)0,11,11,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===-+==-+==0.070.080.32=++0.47=()3X 的可能取值为0，1，则(),X Y 关于X 的边缘分布律为00.070.180.150.40p =++=，10.080.320.200.60p =++= 即Y 的可能取值为1-，0，1，则(),X Y 关于Y 的边缘分布律为10.070.080.15p -=+=，00.180.320.50p =+=，10.150.200.35p =+= 即j()4X 与Y 不独立. 因为()()()0,10.07010.400.150.06P X Y P X P Y ==-=≠==-=⨯=， 由定理3.1可知X 与Y 不独立. 3. 解：由题意知，()2,0.2XB ，()2,0.5Y B ，则由X 与Y 独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j ===== ()()()()22220.20.80.50.5iij jij C C --=，,0,1,2i j =. 即(),X Y 的联合分布律为4. 解：关于X 的边缘分布律为关于的边缘分布律为j由和Y 相互独立，得()()()()()()1111,2129391111,31318318P X Y P X P Y a P X Y P X P Y b ⎧⎛⎫=======⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=======⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以 29a =，19b =. 3.2 二维连续型随机变量习题答案1. 解：()1 由二维联合分布函数的性质得：()()()()(),arctan 02,arctan 02,122F x A B x C F y A B C y F A B C ππππ⎧⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-∞=-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解三个方程得212A B C ππ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩.()2 由二维联合密度函数的性质得：当,x y -∞<<+∞时,()()2,,F x y f x y x y ∂=∂∂221111A x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()222111x y π=++. ()3 关于X 的边缘分布函数为()()(),lim ,X y F x F x F x y →+∞=+∞=21arctan 222x ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1arctan 2x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， x -∞<<+∞ 关于Y 的边缘分布函数为()()()21,lim ,arctan 222Y x F y F y F x y y ππππ→+∞⎛⎫⎛⎫=+∞==++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1arctan 2y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， y -∞<<+∞ 2. 解：()1 由联合密度函数的规范性得： ()()3201,x y f x y dxdy ke dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰，即3201x y ke dx e dy +∞+∞--=⎰⎰，由定积分的知识得：16k=，即6k = ()2()()()320,6x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞-+≤≤==⎰⎰⎰⎰3206x y xe dx e dy +∞+∞--=⎰⎰50335x e dx +∞-==⎰. ()3X 与Y 相互独立.关于X 的边缘密度函数为()()()3206,0,0,x y X edy x f x f x y dy +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他33,00,x e x -⎧>=⎨⎩其他 关于Y 的边缘密度函数为()()()32206,02,0,0,0,x y y Y edx y e y f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立. 3. 解：()1 由联合密度函数的规范性得：()1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰1220013A x x dxdy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰1220013A x x dx dy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰A =, 即 1A =.()2 关于X 的边缘密度函数为 ()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰2201,0130,x x dy x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他212,0130,x x x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩其他 ()()2(3)2,x y P X Y f x y dxdy+<+<=⎰⎰1212320001522333336x x x dx dy x x x dx -⎛⎫⎛⎫=+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()(4),Y f y f x y dx +∞-∞=⎰1201,0230,x x dx y ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他1,0220,y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立.4. 解：由题意知X 与Y 的密度函数分别为()X f x 1,0220,x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他， ()Y f y 22,00,y e y -⎧>=⎨⎩ 其他()1 由于X 与Y 相互独立，则()()(),X Y f x y f x f y =2,02,00,y e x y -⎧≤≤>=⎨⎩ 其他()()()4222200013(2),1.24xyxy xe P Y Xf x y dxdy dx edy e dx ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()42222203,2.4yyyy xe P Y Xf x y dxdy edy dx ey dy ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰或3.6 两个随机变量函数的分布习题答案1. 解()11Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则()()()14221,120P Z P X Y P X Y =-=+=-==-=-=()()()13111,020P Z P X Y P X Y =-=+=-==-==()()()()14001,11,120P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-=()()()()16111,21,020P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+=== ()()()12221,120P Z P X Y P X Y ==+===== ()()()11331,220P Z P X Y P X Y ==+===== 即1Z 的分布律()2 2Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则2Z 的分布律是()()()26221,220P Z P XY P X Y =-==-==-==()()()()2111,11,120P Z P XY P X Y P X Y =-==-==-=+==-= ()()()()23001,01,020P Z P XY P X Y P X Y =====-=+===()()()()26111,11,120P Z P XY P X Y P X Y =====-=-+=== ()()()21221,220P Z P XY P X Y ======= 即2Z 的分布律()3 3Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，2，则(){}()()341max ,11,120P Z P X Y P X Y =-==-==-=-= (){}()()330max ,01,020P Z P X Y P X Y =====-==()()()()()311,11,11,01,1P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==+== 620=(){}()()()372max ,21,21,220P Z P X Y P X Y P X Y =====-=+===即3Z 的分布律()44Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，则4Z 的分布律是(){}()()()41min ,11,11,0P Z P X Y P X Y P X Y =-==-==-=-+==()()()1,11,21,120P X Y P X Y P X Y +=-=+=-=+==-=(){}()()40min ,01,00P Z P X Y P X Y =======(){}()()()431min ,11,11,220P Z P X Y P X Y P X Y ======+===即4Z 的分布律2. ()1 C()2解：令Z X Y =+，则Z 的可能取值为2-，0，2，则Z 的分布律是()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y =-=+=-==-=-==-=-=()()()()001,11,1P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-()()()()111112P X P Y P X P Y ==-=+==-=()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y ==+========即Z 的分布律3. 解：由题意知1X 与2X 的密度函数和分布函数分别为()X f x 1,010,x ≤≤⎧=⎨⎩ 其他 ， ()X F x 0,0,011,1x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩则Y 的分布函数为()Y F y ()()()()1212max ,,P Y y P X X y P X y X y =≤=≤=≤≤()()()()()12212X X X P X y P X y F y F y F y =≤≤==则Y 的密度函数为()()Y Y dF y f y dy =()()2X X f y F y =2,010,y y ≤≤⎧=⎨⎩其他 则Z 的分布函数为()()()()12min ,Z F z P Z z P X X z =≤=≤()()121min ,P X X z =->()121,P X z X z =->>()()121P X z P X z =->>()()()()()()12211111X X X F z F z F z =---=--则Z 的密度函数为()()Z Z dF z f z dz =()()()21X X f z F z =-()21,010,z z -≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他 4. 解：由X 和Y 相互独立可知()()()()()33()033z x tzxz t Z X Y Y Y f z f x f z x dx ef z x dxe f t dt-=+∞+∞----∞-∞=-=-=⎰⎰⎰令()1 当0z ≤时，()0Z f z =;()2 当0z >时，()33233003266(1).zzz t t z t z z Z f z e e dt e e dt e e -+---=⋅==-⎰⎰综上所述，Z 的密度函数为 ()Z f z ()236,00,z ze e z --⎧->⎪=⎨⎪⎩ 其他第3章 多维随机变量及其分布复习题答案 1. 解：()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====，i =1，2，3; 0j =，1，2.则X 和Y 的联合概率分布为()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11a b +++=，即0.5a b += ()* ()00.4P X a ==+， ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得：()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4),a a +=+可得：0.2a =，再有()*式得：0.3b =. 3. 解：由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1， 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-= ()()()()1,0P X Y P AB P A P AB ====-()()11,112P X Y P AB ====4. 解：由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩ 其他，()12,X X 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1，则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤1101y e dy e --==-⎰ ()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy e e ---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22y P X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰，即：5. 解：()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰，所以()()()6,,,0,,x y Gf x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X 的边缘密度函数为()()22666,01,0,xx X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()())6,01,0,y Y dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y f x y f x f y ≠.6. 解：()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,xX dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,yY y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y f x y dxdy -∞-∞⎛⎫<<= ⎪⎝⎭⎰⎰ 111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰。
第3章多维随机变量及其分布习题解答
．
16．设 X 与 Y 相互独立，且 P { X = 0} = P {Y = 0} =
1 2 , P { X = 1} = P {Y = 1} = 3 3
．
⎧1 Z =⎨ ⎩0
X +Y ≠1 ，则 Z 的分布律为 X +Y =1
P ( Z = 0) = 4 / 9, P ( Z = 1) = 5 / 9
X
1 2
Y
1 0．18 0．42 0．6
2 0．12 0．28 0．4
P( X = i)
0．3 0．7
P (Y = j )
（2） P{ X = Y } = P{ X = Y = 1} + P{ X = Y = 2} = 0.18 + 0.28 = 0.46 （3） XY 的分布律为
XY P
1 0.18
∫∫
p ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
0
1
1− x 2 0
2e− ( x + 2 y ) dy = 1 − 2e−1
26．设 X 与 Y 相互独立， X与Y 的概率密度分别为
⎧1, 0 ≤ x ≤ 1 p X ( x) = ⎨ ， 其他 ⎩0,
⎧8 y, 0 < y < 1/ 2 pY ( y ) = ⎨ 其他 ⎩ 0,
)
，
则
X
Y
．
相
互
独
立
的
充
要
条
件
是
pij = pi. ⋅ p. j
(i, j = 1, 2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅)
2
⎧1 − e − x x ≥ 0 ⎪ 13 ． 设 X 与 Y 相 互 独 立 ， 分 布 函 数 分 别 为 FX ( x ) = ⎨ ， ⎪ ⎩0 x < 0
多维随机变量及其分布测试题答案1 1
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为_______ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _31ln 444- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12 C ． 23 D ．345.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ C ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==6.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．A ．0；B ．14； C ．12； D ．1.8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k===-==与相互独立.(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒=()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236zzz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)zz e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z zZ e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x yx X p x p x y dy edy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：2()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。
三多维随机变量及其分布(参考答案).
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（一）一、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为2,01,01(,)0,Axy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，则常数A = 6 。
2、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为arctan arctan ,0,0(,)0,A x y x y F x y ⋅>>⎧=⎨⎩其他，则常数A =24π。
二、计算题：1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：01X ⎧=⎨⎩若第一次出的是正品若第一次出的是次品 ， 01Y ⎧=⎨⎩若第二次出的是正品若第二次出的是次品 试分别就（1），（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样 （2）不放回抽样2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）13{,04}22P X Y <<<<，（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤解：（1）13{,04}22P X Y <<<< 111213(,)(,)(,)P X Y P X Y P X Y ===+==+== 14=（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤13142324(,)(,)(,)(,)P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+== 11516416=+=3．设随机变量(,)X Y 的联合分布律如表：求：（1）a 值； （2）(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y （3）(,)X Y 关于X ，Y 的边缘分布函数()X F x 和()Y F y 解：（1） 由归一性1111446iji jp a =+++=∑∑ 解得 13a =（2）(,)X Y 的联合分布函数为00111210452101211202120,(,),,,x y x y F x y x y x y x y <<-⎧⎪⎪≤<-≤<⎪⎪⎪=≥-≤<⎨⎪⎪≤<≥⎪⎪≥≥⎪⎩或（3）(,)X Y 关于X ，Y 的边缘分布函数为：01112212()X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ 01510121()y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩4．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6)0<x<2,2<y<4(,)0k x y f x y --⎧=⎨⎩其他，求：（1）常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<； （3）{ 1.5}P X <； （4）{4}P X Y +≤ 解：（1）由归一性 242266281(,)()()F dx k x y dy k x dx k -∞+∞=--=-==⎰⎰⎰所以 1k =（2） {1,3}P X Y <<131020117368828()()dx x y dy x dx =--=-=⎰⎰⎰ （3）{ 1.5}P X <1541502011276628832..()()dx x y dy x dx =--=-=⎰⎰⎰（4）{4}P X Y +≤4168()x y x y dxdy +≤=--⎰⎰ 2402168()x dx x y dy -=--⎰⎰ 220112816()x x dx =-+⎰23=概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（二）一、选择题：1、设随机变量X 与Y 独立，且221122(,),(,)XN Y N μσμσ，则Z X Y =-仍服从正态分布，且有 [ D ] （A ）221212(,)Z N μμσσ++ (B) 221212(,)Z N μμσσ+- (C) 221212(,)ZN μμσσ-- (D) 221212(,)ZN μμσσ-+2、若(,)X Y 服从二维均匀分布，则 [ B ] （A ）随机变量,X Y 都服从均匀分布 （B ）随机变量,X Y 不一定服从均匀分布 （C ）随机变量,X Y 一定不服从均匀分布 （D ）随机变量X Y +服从均匀分布 二、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2,01,02(,)30,.xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他， 则(1)P X Y +≥=3136。
概率及数理统计第3章多维随机变量和分布习题和答案解析
第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 .3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X5、设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k81. 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则=⎰∞+∞-)(x f X1 .8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .XY 0 1 2 3 j P ⋅ 1 083 83 086 381 081 82 ⋅i P81 83 83 819、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y X1 231 61 91 181 231α β 则βα,应满足的条件是 186=+βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 182 .10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度=),(y x f22221y x e +-π，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z42221x e-π .12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222则 A =__1___。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
第三章 多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ； （2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ； （4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6． 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )； （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P {X = Y }； （3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ； （2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1， 故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8． 设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx， 故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}； （3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx； （2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}． 解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211， 因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。
第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可.解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======111{0}{0},224P X P Y ====⨯=3{1}1{0}.4P Z P Z ==-==Z 的分布律为Z ０１P14342．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.解: 如图10-5所示X ０１P1212图10-511201(1)664x xDP x y xdxy dx dxdy -+≤===⎰⎰⎰⎰． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.解: 由X 和Y 相互独立知{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==11111.22222=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .2.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424iX i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．A ．0；B ．14；C ．12； D ．1.【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.解: 设随机变量12,X X 的联合分布为 由121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==21231232221p p p p p =++++=知 111331330,p p p p ====从而有 2111311144p p p =--=, 类似地 231232111,,.444p p p ===进一步可知 22123210.2p p p =--=即 1122330.p p p ===因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．A ．是连续函数；B ．至少有两个间断点；C ．是阶梯函数；D ．恰好有一个间断点.【解题分析】从公式(){}{}{}{}min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---出发求解即可.解: 由题设,0,()0,0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩ 令12,2,X ξξ==则120,0,0,2,()()1,0,1, 2.xx x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为120,0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.故选择B .注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解. 三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式1234X X X X X =的概率分布.【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====.12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====⨯= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====⨯={0}120.13440.7312.P X ==-⨯=于是12341010.13440.73120.1344X X X X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为120.30.7X⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论. 解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-．再由{}{}{}000.1000.50.50P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤===++≤，，得 0.3a b +=.解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,0 1,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====． 即Z 的概率分布律为(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=.4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数.【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为(,),01,0,(,)()()0,y X Y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为2(){2}()()Z X Y x y zF z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=⎰⎰2222000121200000,0,0,(1),02,(1), 2.zz z x yx z z xy x z z z dx e dy e dx z dx e dye dx z ------⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎪==-<≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪->⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以,随机变量Z 的分布密度函数为()()Z Z f z F z '==20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为1()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞-∞=-=-⎰⎰=(2)201(2)00,0,,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰=20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为1,(,),2(,)0,(,).x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；图10-6位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->211111(1ln 2ln ).222s s x xy ssdxdy dx dy s >=-=-=+-⎰⎰⎰⎰ 于是,1(ln 2ln ),02()20,0 2.s s f s s s ⎧-<<⎪=⎨⎪≤≥⎩若若或6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即(|)(|).P B A P Y m X n ===根据n 重伯努利概型,有()(|)1n mm mn P B A C p p -=-，其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====而上车人数服从()P λ,因此 (),!nP A e n λλ-=于是(,)X Y 的概率分布律为()()(,)(1),!nmmn mnP X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的概率分布密度函数().p u图10-7【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知X 和Y 联合密度为 13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若1其它.以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时, ()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.设02,u <<则||{||}1()(,)4x y u x y u GF u f x y dxdy dxdy -≤-≤==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为()1(2)2,()20,U u <u <f u F u ⎧-⎪'==⎨⎪⎩若0其它.8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.解: 设X 的分布参数为λ,由于1()5,E X λ==可见15λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5{}1y P X y e-≤=- 于是，Y 的分布函数为50,0,()12,1, 2.y y F y ey y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。
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第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F yx2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12 B ．13 C ．14 D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12 C ． 23 D ．345.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ C ）．A ．;X Y = ．{}0;P X Y == C ．{}12;P X Y ==．{} 1.P X Y ==6.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．．0； ．14； C ．12； ．1.8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；.12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．B D A B D A B D三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k===-==与相互独立. (1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x yx u v F x y e dudv e e ---+==⋅--⎰⎰43(1)(1)0,0y xe e x y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)e e --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236zzz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)zz e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z zZ e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x yx X p x p x y dy edy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：2()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。