清华大学 李俊峰教授 理论力学 第三章平面力系_

第三章 平面力系 知识点 力的平移定理 作用在刚体上某点 A 的力 F 可平行移动到任意点 B,平移时需附加一个力偶， 该力偶的力偶矩等于力 F 对平移点 B 的力矩。 平面力系的简化 根据力的平移定理，将平面力系向平面内任一点简化，得到一个力和一个 力偶。力的大小、方向等于力系的主矢，力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化 中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。 3.力系的简化结果归结为计算两个基本物理量--主矢和主矩。它们的解析表达式分别为
。由平衡方程
解得 kN
解得 kN
再取梁 ，受力如图(c)。由平衡方程
解得 由
解得
kN
此题也可在求得 和 后，再取整体为研究对象，求 和 。 例 3-7 图 3-18(a)所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链 联结，再用铰链 和
固结在两岸桥墩上。每一部分的重量
，其重心分别在点 和 E 点。桥上载荷
。求 、 、 三处的约束力。 解：取整体为研究对象，受力如图(b)。由平衡方程
解得
kN，
kN
再取右半桥为研究对象，受力如图(c)所示。由平衡方程
解得 再由整体平衡，有
kN，
kN，
kN（↓）
解得 kN
例 3-8 曲柄冲压机由冲头、连杆、曲柄和飞轮所组成(图 3-19(a))。设曲柄
在水平位置
时系统平衡，冲头 所受的工件阻力为 。求作用于曲柄上的力偶的矩 和轴承的约束力。
的力偶，如图(c)所示。
2. 力系的主矢和主矩 （1）主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢，即
它与简化中心位置无关。
（3-1）
（2）主矩 力系中各力对简化中心 之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩，
即
（3-2）
它与简化中心的位置有关。 （3）取坐标系 Oxy ，如图(b），则主矢和主矩的解析表达式分别为
），令
。则力 与力系（ ， ，
）（图 3-3b）等效或与力系 结果。附加力偶（ , ）的力偶矩
（图 3-3c）等效。后者即为力 向 B 点平移的
证毕。 ★ 该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面
内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个 力。
★ 该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。例
如单手攻丝时（图 3-4），由于力系（ ， 断。
）的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折
§3-2 平面力系向一点简化
1. 平面力系图 3-5（a）所示。在力系作用面内任取一点 （称
为简化中心），应用力的平移定理，将各力平移至点 ，得到如图（b）所示的平面汇交力 系和平面力偶系。再分别合成这两个简单力系得到通过简化中心的一个力和一个力偶矩为
（1）二矩式（图 3-11）
式中 A ，B 连线不能与 x 轴垂直。 ③三矩式（图 3-12）
（3-9）
（3-10） 式中 A 、B 、C 三点不能共线。 4. 平面平行力系的平衡方程 由式（3-8）、式（3-9）和式（3-10）可推出各种特殊的平面力系的平衡方程。平面平行力系 的平衡方程为
式中 轴与各力平行，A 为平面上任一点。另一组形式是
解得
m §3-4 平面力系的平衡条件和平衡方程 1. 平面力系的平衡条件 平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零
2. 平面力系的平衡方程
（3-7）
（3-8） 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意点之矩的代数和等于零。
三个独立的平衡方程，可解三个未知量。 3. 平衡方程的其它形式 主矢和主矩分别等于零的条件还可用其它形式的平衡方程表示。
离为 6m。
（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重 应为多少？
（2）当平衡重
时，求满载时轨道 、 的约束力。
解：（1）起重机受力如图。满载时，在起重机即将绕 点翻倒的临界情况，有
此可求出平衡重 的最小值。
。由
空载时，载荷 的最大值。
kN 。在起重机即将绕 点翻倒的临界情况，有
。由此可求出
kN 实际工作时，起重机不致翻到的平衡重取值范围为
得
kN
得
kN
kN 的方向与假设的相反。为校核所得结果是否正确，可应用多余的平衡方程，如
=0
例 3-4 高炉上料小车如图 3-15(a)所示。料车连同所装的料共重
，重心在点
。已知：
，
，
，
，
。求料车匀速
上升时钢索的拉力
及 轨 道 对 车 轮 和 的 约 束 力 （ 摩 擦 不 计 ）。
解：取小车为研究对象。受力如图(b)所示。建立图示坐标系，由平衡方程
·矩形分布载荷通常分割成一矩形和一三角形，分别合成得 和 。
§3-3 平面力系简化结果分析 1. 平面力系的简化结果 将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。见表 3-1。 表 3-1 力系的简化结果
力系向任一点 O 简化
主矢
主矩
简化结果
说明
平衡
平衡力系
合力偶
主矩与简化中心位置无关
本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题，介绍简单桁架的内力计算。 §3-1 力的平移定理 定理：作用在刚体上某点 A 的力 F 可平行移到任一点 B ，平移时需附加一个力偶，附加 力 偶 的 力 偶 矩 等 于 力 F 对 平 移 点 B 的 力 矩 。 如 图 3-3 所 示 。
证明：在点 B 上加一平衡力系（
。求力系的合力。
解：（1）先将力系向点 简化，求主矢 和主矩 ，如图(b)。由图(a)计算
主矢 在 x 、y 轴上的投影。
式中 主矢 的大小
kN kN
kN
因 为负，故主矢 在第四象限内，与 x 轴的夹角为 70.84°。
力系的主矩
（顺时针）
（2）合力 3-10c），即
的大小和方向与主矢
相同。其作用线位置根据合力矩定理求得（图
（3-11）
（3-12） 式中 A 、B 连线不能与各力平行。平面平行力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。 同理可推出平面汇交力系及平面力偶系的平衡方程。
例 3-2 起重机重
，可绕铅直轴 转动，起吊
的重物，如图 3-13
所示。尺寸如图所示。求止推轴承 和轴承 处的约束力。
解：取起重机为研究对象，它所受的主动力有 和 。由于对称性，约束力和主动力都在
3. 力系对不同简化中心的主矩 图 3-6（a）所示的简化结果与原力系等效，将其直接向另一点 简化，得到
（3-5） 即力系对 点的主矩等于力系对 点的主矩与通过 点的力对 点之矩的代数和。
4. 固定端约束 物体一端被固定，完全限制了物体在图示平面内的运动，构成固定端约束（或插入端约束）。 如图 3-7(a)和(b)所示的对车刀和工件的约束。图 (c)为其约束简图。固定端约束的约束力是 作用在接触面上的分布力系（图 3-8（a））。将其向固定端处 A 简化得一力和一力偶，如图 (b)，
4. 平面力系向一点简化有三种可能情形：
主矢
主矩
简化结果 平衡 力偶
合力
5.合力矩定理
合力对某一点之矩等于力系中各力对该点之矩的代数和。 6. 平面力系平衡的必要与充分条件 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
7. 平面力系的平衡方程有三种形式：
基本形式：
二矩式：
（A 、B 连线不能与 x 轴垂直）
解得 kN
kN 为避免解联立方程，常常希望写出只包含一个未知力的方程。例如，在本例中如只需求 解 ，可取 和 两个力作用线的交点 为矩心，力矩平衡方程
得
例 3-5 塔式起重机如图 3-16 所示。机架重
，作用线通过塔架的中心。最大起
重量
，最大悬臂长为 12m，轨道 的间距为 4m。平衡重 到机身中心线距
同一平面内。止推轴承 处有两个约束力 、 示。
建立图示坐标系，由平面力系的平衡方程
，轴承 处有一个约束力 ，如图所
解得
为负值，说明它的方向与假设的相反。 例 3-3 外伸梁的尺寸及载荷如图 3-14 所示，试求铰支座 及辊轴支座 的约束力。
解：取 梁为研究对象，受力如图所示。建立图示坐标系，由平面力系的平衡方程
力的大小、方向未知，以两个未知的正交分量表示。固定端约束的约束力包括两个分力 ，
和一个力偶矩为
的 约 束 力 偶 。 如 图 (c) 所 示 。
5. 几种常见的分布载荷的简化结果 分布载荷形式
1 均匀分布
简化结果 合力大小 合力
合力作用线位置
2三
角
形
分
布
合力
3 梯形分布 合力
·各种形式分布载荷合力的大小等于载荷集度图的面积，合力作用线位置由合力矩定理确定， 它通过由分布载荷所围成的面积的几何中心。
三矩式：
（A 、B 、C 三点不共线）
三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
8. 求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象； （2）分析研究对象受力，画受力图； （3）根据力系的类型列写平衡方程，选取适当的坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最 少； （4）求未知量，分析和讨论计算结果。 9. 分析物体系统平衡时，注意分清内力和外力，并注意灵活选择研究对象及平衡方程，以 便简捷求解。如系统是由 n 个受平面力系作用的物体组成，则独立的平衡方程数为 个。 10. 桁架由二力杆铰接而成，求平面简单桁架各杆内力有节点法和截面法。 力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系（图 3-1）。当物体所受的力对称于某一 平 面 时 ， 也 可 简 化 为 在 对 称 平 面 内 的 平 面 力 系 （ 图 3-2 ）。
应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。 ★ 求未知量。校核和讨论计算结果。