2010届高三数学高考考前复习：指数与指数函数教案

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高三数学高考考前复习指数与指数函数教案

第二章指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。

4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

三、命题走向函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

指数函数教案：突破高考的秘密武器

指数函数教案：突破高考的秘密武器高考是每个学生所面临的最大考试，也是考生人生中一个举足轻重的关口。

指数函数是高中数学中一个非常重要和基础的内容，也是高考数学选择题中一个应该会做的难点。

本文将会探讨如何通过指数函数教案突破高考。

一、知识点梳理1.定义：指数函数是形如 y=a^x 的函数，其中 a>0，且a≠1，x 是实数。

2.特征（1）定义域：(-∞, +∞)（2）值域：(0, +∞)（3）单调性：当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。

（4）y 轴截距：（0,1），即此函数必过 y 轴 (0,1)。

（5）与 x 轴交点：y=13.常见函数常见的指数函数有：（1）y=2^x（2）y=3^x（3）y=e^x（4）y=10^x4.基本性质（1）同底数幂相乘，底数相同，指数相加。

（2）同底数幂相除，底数相同，指数相减。

（3）不同底数幂无法直接相加或相减，但是可以用对数将不同底数幂转化为同底数的幂进行计算。

二、思维导图为了帮助学生更好地掌握指数函数的知识点，可以通过思维导图的形式进行知识点梳理。

下面是一张简单的思维导图：其中的实心箭头代表指数函数的基本性质，空心箭头代表了指数函数的常见函数。

三、解题方法指数函数是高中数学中一个难点，但是只要正确应用解题方法，就可以轻松解决指数函数题目。

1.求解函数值对于求指数函数的函数值，可以直接带入变量中进行计算。

如：求 y=2^x 在 x=3 时的函数值，直接带入得 y=2^3=8。

2.指数函数的性质当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。

根据单调性，可以解决一些大小关系问题。

如：y=2^x 和 y=3^x 在 x>0 时，哪个更大？由于 y=2^x 单调递增，y=3^x 单调递增，所以当 x>0 时，y=3^x > y=2^x，即 y=3^x 更大。

高中数学复习教案：指数与指数函数

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念如果x n ＝a ,那么x 叫作a 的n 次方根,其中n ＞1,n ∈N *表示当n 是奇数时,a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时,正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作n0＝0根式概念式子n a 叫作根式,其中n 叫作根指数,a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时,na n ＝a当n 为偶数时,na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜02.(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0,r ,s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0,r ,s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0,＋∞) 性质(0,1) 过定点当x ＞0时,y ＞1； x ＜0时,0＜y ＜1当x ＞0时,0＜y ＜1； x ＜0时,y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x ,(2)y ＝b x ,(3)y ＝c x ,(4)y ＝d x 的图象,底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y ＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象越高,底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( ) (2)(－1) 24＝(－1) 12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x－1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1),则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12,则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4B [由题意知12＝a 2,所以a ＝22,所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x,所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0,且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0,得x ＝1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C.] 5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数,则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1, 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33,故选D.]2．若a ＞0,b ＞0,则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3,则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号；底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解题. 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A．a＞1,b＜0B．a＞1,b＞0C．0＜a＜1,b＞0D．0＜a＜1,b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P,则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点,则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1,＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减,所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的,所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2,且f(2)＝4,则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时,直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()A B C D(3)已知a ＞0,且a ≠1,若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎨⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1,故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到,故选B. (3)①当0＜a ＜1时,如图①,所以0＜3a ＜2,即0＜a ＜23； ②当a ＞1时,如图②,而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】已知a ＝343,b ＝925,c ＝12113,则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ,c ＝12113＝1123＞923＝a ,所以c ＞a ＞b .故选A.] ►考法2 解简单的指数方程或不等式【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)(2)已知实数a ≠1,函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1),则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时,不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0＜12＜1,所以a ＞－3,此时－3＜a ＜0；当a ≥0时,不等式f (a )＜1可化为a ＜1,所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时,41－a ＝21,解得a ＝12；当a ＞1时,代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2,则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ,由0≤x ≤2得1≤t ≤4,又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12, ∴当t ＝1时,y 有最大值,最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________,值域是________．(－∞,1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1,则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数,则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞,1]．因为u ≤2,则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14,即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.] [规律方法]应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34,则a ,b ,c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0,＋∞) B ．(1,＋∞) C ．[1,＋∞) D ．(－∞,＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6,＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,即a ＞b ＞c ,故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1, 令t ＝2x ,则t ＞0,∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1,故选B.(3)由题意知,函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a2≥3,即a≥6.(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1,则0＜y≤2.即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]。

《指数函数》复习课教案

《指数函数》复习课教案指数函数复课教案一、教学目标1. 了解指数函数的定义和性质。

2. 掌握指数函数的图像特点和变化规律。

3. 学会求解指数函数的基本问题，如解方程、求导等。

二、教学内容1. 指数函数的定义和性质介绍。

2. 指数函数的图像绘制和分析。

3. 指数函数的基本问题解决方法。

4. 指数函数与其他函数的关系。

三、教学过程1. 指数函数的定义和性质介绍- 介绍指数函数的定义和表示方法。

- 讲解指数函数的增长与衰减性质。

- 引导学生理解指数函数的图像特点。

2. 指数函数的图像绘制和分析- 指导学生通过给定函数表达式，绘制指数函数的图像。

- 分析指数函数图像的特点，如增长趋势、渐近线等。

- 提醒学生观察指数函数图像的反比关系。

3. 指数函数的基本问题解决方法- 解释如何求解指数方程。

- 带领学生通过例题练，掌握求解指数方程的步骤和技巧。

- 讲解指数函数求导的基本方法。

4. 指数函数与其他函数的关系- 比较指数函数与线性函数、二次函数等其他函数的特点和差异。

- 引导学生分析指数函数与其他函数之间的关系。

- 鼓励学生探索指数函数在实际问题中的应用。

四、教学资源1. PowerPoint幻灯片：包含指数函数的定义、性质介绍、图像绘制和分析的内容。

2. 白板、彩色笔：用于举例和讲解。

3. 课堂练题：用于学生的课堂练和讨论。

五、教学评估1. 课堂练：通过课堂练检验学生对指数函数的理解和应用能力。

2. 课堂讨论：鼓励学生提问、交流，并评估他们的思维能力和分析能力。

3. 作业评估：布置作业并对学生的作业进行批改和评分。

六、教学延伸1. 鼓励学生进一步研究和探索指数函数的应用领域。

2. 推荐相关的参考书和互联网资源，供学生深入研究和拓展知识。

七、教学反思- 教师反思教学过程中的不足和可以改进的地方。

- 学生反馈和评价收集，以便优化教学方案。

以上为《指数函数》复习课教案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握指数函数的相关知识和应用能力。

高考数学科学复习创新方案：指数与指数函数

指数与指数函数[课程标准]1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1，m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1，x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根—n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个02正数，负数的n 次方根是一个03负数na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有04两个，它们互为05相反数±na (a ＞0)负数没有偶次方根2.分数指数幂(1)a mn＝06na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)a －mn ＝071a m n＝081na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝09a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝10a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝11a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4．指数函数的概念函数12y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为13(0，＋∞)函数图象过定点14(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1;当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >115增函数16减函数1．(n a )n＝a (n ∈N *且n >1)．2.na n ，n 为奇数且n >1，|，a ≥0，a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x与函数y的图象关于y轴对称．1．(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案D解析因为x<0，y<0，所以416x8y4＝424·（x2）4y4＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一册习题4.1T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则53m-2n2＝()A．210B．310 C．20D．510答案D解析53m-2n2＝53m52n ＝（5m）3（5n）2＝10322＝52×10＝510.3．函数f(x)＝a x－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)．4．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析因为函数y ＝0.99x 在R 上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a >b ，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a <c .综上可知，b <a <c .5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12；当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.综上所述，a ＝12或32.例1求值与化简：(1)823×100－12×3－34；(2)(a 23b －1)－12a －12b 136ab5(a >0，b >0)；(3)3a 92a －3÷3a－73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12＋a －12＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)-12×(2－2)－34-34＝22×10－1×263＝4325.(2)原式＝a －13b 12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝1a.(3)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(4)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．＝________．答案a 4解析原式＝[(a 96)13]4[(a 93)16]4＝a 2·a 2＝a 4.2．已知3a ＋2b ＝1，则9a ·3b3a＝________．答案3解析因为3a ＋2b ＝1，所以32a ＋b ＝12，所以原式＝（32）a ·3b （3a ）1232a ＋b －12a＝323a ＋b＝312＝3.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)．解原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1＝a b.4．计算：0.027－13－2(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－721＝103－49＋53－1＝－45.例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2023a ＝2024b ，则下列关系式有可能成立的是()A ．0<b <aB ．a <b <0C ．0<a <bD ．a ＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y ＝2023x 与y ＝2024x 的图象，结合图象可知A ，B ，D 可能成立．故选ABD.(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案解析①当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1，所以0<a <12；②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，a 的取值范围是处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝a x＋b的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)x＋1|的图象大致为()答案B解析作出函数yx|，x≥0，x<0的图象，如图所示，将yx|的图象向左平移1个单位得到f(x)＝x＋1|的图象．故选B.2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A.12B．1C.32D．2答案B解析如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.多角度探究突破角度比较指数幂的大小例3(1)(2023·淮南一模)设abca，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函数y＝x4７是(0，＋∞)上的增函数，37<47，∴b<c.∵函数y是R上的减函数，37<47，∴a >c .综上，a >c >b .故选A.(2)(2023·沈阳模拟)若p ：0<a <b ；q ：4a －4b <5－a －5－b ，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析设f (x )＝4x －5－x ，则函数f (x )为增函数，则由4a －4b <5－a －5－b ，即4a－5－a <4b －5－b 可得a <b ，所以0<a <b 是4a －4b <5－a －5－b 的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1.下列各式比较大小正确的是()A ．1.72.5>1.73－43C ．1.70.3<0.93.1答案D解析∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；∵2－43＝y2－43，故B 不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 不正确；∵y y ＝x 23在(0，＋∞)D正确．2．(2024·宿迁模拟)设12<<1，那么()A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a答案C解析∵12<<1且y在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a.故选C.角度解简单的指数方程或不等式例4(1)已知实数a≠1，函数f(x)x，x≥0，a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案12解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝12；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝12.(2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，≤1，令f(x)＋，因为y，y，y均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．1．解指数方程的依据a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．2．解指数不等式的思路方法对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．1.若x 满足不等式2x 2＋1－2，则函数y ＝2x 的值域是()A.18，B.18，2∞，18D ．[2，＋∞)答案B解析将2x 2＋1－2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3，1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是18，2.2．方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．答案x ＝log 23解析当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0，∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x ＝3，即x ＝log 23；当x <0时，原方程化为4x －2x －10＝0，令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0<t <1)．由求根公式得t ＝1±412均不符合题意，故x <0时，方程无解．综上，原方程的解为x ＝log 23.角度指数函数性质的综合应用例5(1)(2023·大庆二模)已知函数f (x )＝4x2＋4x，则()A ．f (0.1)>f (0.2)B ．函数f (x )有一个零点C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )答案D解析函数f (x )＝4x 2＋4x 的定义域为R .对于A ，函数f (x )＝4x 2＋4x ＝1－22＋4x，函数y ＝4x 在R 上为增函数，易得f (x )在R 上为增函数，则有f (0.1)<f (0.2)，A 错误；对于B ，f (x )＝4x 2＋4x ，有4x>0，则有f (x )>0，所以f (x )没有零点，B 错误；对于C ，f (1)＝46＝23，f (－1)＝4－12＋4－1＝19，所以f (1)≠f (－1)，f (x )不是偶函数，C 错误；对于D ，因为f (x )＝4x 2＋4x ，所以f (1－x )＝41－x 2＋41－x ＝42·4x ＋4＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1，所以函数f (x )D 正确．故选D.(2)已知函数f (x )2－4x ＋3(a ∈R )．若a ＝－1，则函数f (x )的单调递增区间为________；若f (x )的值域是(0，＋∞)，则a ＝________．答案[－2，＋∞)解析当a ＝－1时，f (x )x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )（x ），由指数函数的性质知，要使f (x )（x ）的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )，故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )x －4|，由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2023·银川校联考二模)已知函数f (x )＝4x －2x ＋2－1，x ∈[0，3]，则其值域为________．答案[－5，31]解析令t ＝2x ，∵x ∈[0，3]，∴1≤t ≤8，∴g (t )＝t 2－4t －1＝(t －2)2－5，t∈[1，8]，又y ＝g (t )的图象关于直线t ＝2对称，开口向上，∴g (t )在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t ＝2时，函数取得最小值，即g (t )min ＝－5，当t ＝8时，函数取得最大值，即g (t )max ＝31，∴f (x )的值域为[－5，31]．课时作业一、单项选择题1．化简2c 3a 481a 5b 216c 4(a >0，c <0)的结果为()A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D.ab 2答案B解析＝2c 3a ·3a （ab 2）14－2c＝－4ab 2.故选B.2．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为()A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案D解析∵a 2－a ＋2＋74>1，∴－x －1<2x ＋5，∴x >－2.故选D.3．(2024·滁州模拟)函数f (x )＝x a －2与g (x )x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A ．a ∈(0，2)B ．a ∈[0，1)C ．a ∈[1，2)D ．a ∈(1，2]答案C解析函数f (x )＝x a －2在(0，＋∞)上单调递减，可得a －2<0，即a <2；函数g (x )x在(0，＋∞)上单调递减，可得0<a4<1，解得0<a <4，若函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减，可得0<a <2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减的一个充分不必要条件是a ∈[1，2)．故选C.4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x (x ＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y (单位：元/千克)近似满足函数关系式y ＝e ax ＋b .若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：32≈1.26，34≈1.59)()A ．30.24元/千克B ．33.84元/千克C ．38.16元/千克D ．42.64元/千克答案C解析由题意可知e 4a ＋b e a ＋b＝e 3a＝2，e a＝32，由e a ＋b ＝24，则e 3a ＋b ＝e a ＋b ·e 2a＝24e 2a ＝24×34≈38.16.故选C.5．(2023·唐山模拟)≤x 的解集是()A.0，12B.12，＋C.0，22 D.22，＋答案B解析在同一坐标系中作出y ，y ＝x 的图象，＝x 得x ＝12，结合图象知，不等式≤x 的解集是12，＋6．(2024·盐城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b ，函数f (x )的图象经过第一、三、四象限，则g (b )＝f (b )－f (b －1)的取值范围为()∞∞答案A解析由函数f (x )＝3x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，可得b <－1，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)＝3b －3b －1＝3b ＝23·3b <23－1＝29，又因为23·3b >0，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)故选A.7．若关于x x |＋a －2＝0有解，则a 的取值范围是()A ．[0，1)B ．[1，2)C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析x |＋a －2＝0有解等价于2－a x |有解．因为函数y x |的值域为(0，1]，所以0<2－a ≤1，解得1≤a <2.8．(2023·全国甲卷)已知函数f (x )＝e －(x －1)2.记a ＝b ＝c ＝则()A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b答案A解析函数f (x )＝e －(x －1)2是由函数y ＝e u 和u ＝－(x －1)2复合而成的复合函数，y ＝e u 为R 上的增函数，u ＝－(x －1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以c ＝又22＜2－62＜32＜1，所以b ＞c ＞a .故选A.二、多项选择题9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x ＜y ＜0，则f (x )＜f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝0，故A正确；由f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则b ＝2，又a ＋b＝0，则a ＝－2，则f (x )＝－|＋2，其定义域为R ，∵f (－x )＝－|＋2＝f (x )，则f (x )是偶函数，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，x ＋y ＝0，故B 正确；∵f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴当x ＜y ＜0时，f (x )＞f (y )，故C 错误；∵|≤1，∴－2≤－|<0，∴0≤－|＋2＜2，∴f (x )的值域为[0，2)，故D 正确．故选ABD.10．(2023·淄博模拟)关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形答案ACD 解析函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x＋2在定义域内单调递减，所以函数f (x )的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )对称，所以D 正确．故选ACD.11．(2024·武汉质量评估)若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.三、填空题12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________．答案0<x<14(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<12，使得“2x>4x2”成|0<x|0<x 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案(－∞，－18]解析设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈1 9，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．四、解答题15．已知函数f(x)3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)－x)3(－x)3＝1－1a x－1＋－x)3＝3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，则3>0，即1 a x－1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝3x＋b3x＋1是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋32≥ax2－2恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)因为函数f (x )＝3x ＋b 3x＋1是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝1＋b 2＝0，解得b ＝－1，此时f (x )＝3x －13x ＋11－23x ＋1.对任意的x ∈R ，3x ＋1>0，即函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝3x （3－x －1）3x （3－x ＋1）＝1－3x1＋3x＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，符合题意．任取t 1，t 2∈R 且t 1<t 2，则0<3t 1<3t 2，所以f (t 1)－f (t 2)＝2（3t 1－3t 2）（3t 1＋1）（3t 2＋1）<0，则f (t 1)<f (t 2)，所以函数f (x )在R 上单调递增．(2)由(1)可知，函数f (x )在[1，3]上为增函数，对于任意的x 1，x 2∈[1，3]，都有f (x 1)＋32≥a x 2－2，则a x 2－2－32≤f (1)＝12，所以a x 2－2≤2，因为x 2∈[1，3]，所以x 2－2∈[－1，1]．当0<a <1时，则有a －1≤2，解得12≤a <1；当a >1时，则有a ≤2，此时1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是12，(1，2]．。

高三数学指数与指函数教案

3.．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：)(a n a a a a a n 个⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：nm a ＝n m a (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：nmnm nm a aa11==-(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质①n m n m a a a +=⋅ ②()n m nm a a ⋅= ()m m m b a ab ⋅= ④n m n m a a a -=÷例1．计算：2．化简(式中各字母均为正数)：二：指数函数的图象与性质 1.定义：函数)1,0(≠>=a a ay x叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为R.例1：判断下列函数是否是指数函数（1）5x y = （2）x y )5(-= （3）xy 52⋅=（4） 25+=xy （5）25+=x y （6）x y 25=答案：只有（6）是点评：按定义检验，注意(1)自变量的位置(2) a 的范围例2：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =2.性质：y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1.在(－∞，＋∞)上是增函数当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＞0时，y ＞1；在(－∞，＋∞)上是减函数例3：比较下列各题中两个值的大小：例4.（1）下图是指数函数①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =的图象，判断,,,a b c d1.33.09.07.13和）（35.27.17.11和）（2.01.08.08.02--和）（x y b =x y c =＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫⎝⎛-a 11，课堂双基自测1．(2011·山东)：若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )．A ．0 B.33 C ．1 D. 32．(2012·湖南) 函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值4．(2012·天津) 已知 32121=+-a a ，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________. 作业：一、选择题1．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝5x ＋1 ；B ．y ＝x 4C ．y ＝3－xD ．y ＝2·3x2．函数131-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的值域是( )A ．(－∞，0) ；B ．(0,1]；C ．[1，＋∞) ；D ．(－∞，1]3．已知a ＝30.2，b ＝53，c ＝3－0.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c ；B ．b >a >c ；C ．c >a >b ；D ．b >c >a。

高三数学一轮复习精品教案1：指数与指数函数教学设计

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ；当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________．『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)．『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。

高考数学总复习指数与指数函数知识梳理教案

指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个 (2)运算法则 ①nm nma a a +=⋅；②()mn nma a =；③()0≠>=-a n m a aa nm n m ，； ④()m m mb a ab =.指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与指数的概念考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为0=. (2)根式的意义与运算法则y y n n =)(⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn 考点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=考点四、有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.考点五、指数函数 (1)定义：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质：【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值例1.已知c ba==53，且211=+ba ，求c 的值。

高中数学指数概念试讲教案

高中数学指数概念试讲教案
一、教学目标
1. 掌握指数的基本概念及运算规律。

2. 能够理解并应用指数法则进行简单的计算。

3. 能够解决涉及指数的实际问题。

二、教学重点
1. 指数的定义及概念。

2. 指数的基本运算规律。

三、教学难点
1. 指数计算中的细节处理。

2. 复杂指数运算的简化与计算。

四、教学准备
1. 教师准备PPT课件。

2. 进行小组讨论，组织学生提前预习。

3. 准备指数相关的练习题，以便学生课下巩固。

五、教学过程
1. 导入：
教师通过引入指数在现实中的应用，让学生了解指数的重要性，并引起学生的兴趣。

2. 讲解：
（1）定义指数的概念，例如$3^2$中，3的指数为2，表示底数3连乘两次。

（2）介绍指数的运算规律，包括乘法法则、除法法则、幂运算法则等。

（3）讲解指数的负指数和零指数的含义及性质。

3. 练习：
让学生进行简单的指数运算，例如计算$2^3 \times 2^4$，以及简化$3^2 \div 3^{-1}$等。

4. 拓展：
引导学生思考指数在实际生活中的应用，如科学计数法、指数函数等。

5. 总结：
对本节课的内容进行总结，并强调指数的重要性和应用。

六、课后作业
1. 完成指数相关的练习题。

2. 撰写学习笔记，总结本节课的重点内容。

3. 提前预习下一节课的内容。

以上是本次高中数学指数概念试讲教案的内容，希望能够帮助学生掌握指数的基本概念及运算规律，提高学习效果。

祝愿学生取得更好的成绩！。

高三数学一轮复习指数与指数函数(第2课时)教师导学案新人教

3．4指数与指数函数（第2课时）一、学习目标：1．掌握指数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数的性质解题．3.指数型复合函数的问题研究。

二、自主学习：1. 函数y =（21）222+-x x 的递增区间是(,1]-∞ ，最大值为12 2.已知01a <<，且10,x y >>>则下列不等式中正确的是（ B ）A. x y a a >B. a a x y >C. x aa x > D. a y y a <3. 满足条件m 2m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是：m ＞2或0＜m ＜1 解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1.综上所述，m ＞2或0＜m ＜1.答案：4. 已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是（ D ）A.[]4,2B.)0,(-∞C.[]4,2)1,0(⋃D.(][]2,10,⋃∞- 三、合作探究例1．见《优化设计》例4 P23 ：11()()4()542x x g x =-++已知，求该函数的定义域、值域、和单调区间。

例2（《优化设计》例5 P23）：已知函数2()()(0a 1)1x x a f x a a a a -=->≠-且（1）判断()f x 的单调性（2）判断()f x 奇偶性；（3）当(1,1)x ∈-时，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围；变式训练：（1）要使函数124x x y a =++在(,1]x ∈-∞上0y >恒成立，求a 的取值范围。

答案：见《优化设计》教师用书40页（2）《优化设计》P24已知函数1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且（1）求函数()f x 值域（2）判断()f x 奇偶性；（3）判断()f x 的单调性答案：见《优化设计教师用书》P40四、要点整合：1.与指数函数有关的复合函数性质问题：（1）型如：“()f x y a =”定义域与f(x)定义域相同，值域问题可先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，可确定。

上海市2010届高三数学专题教案：指数函数

上海市2010届高三数学专题教案：指数函数一、知识梳理1、指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数.2、指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.3、指数函数的性质①定义域：R .②值域：（0，＋∞）③过点（0，1）④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.⑤a ＞1时，当0>x 时，则1>y ，当0<x 时，则10<<y10<<a 时，当0>x 时，则10<<y ，当0<x 时，则1>y4、几个注意点：（1）注意指数函数x a y =（a ＞0且a ≠1）与幂函数)(Q k x y k∈=的区别；（2）函数x a y =与x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1的图像关于y 轴对称（a ＞0且a ≠1）；（3）注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想在本节中的应用。

二、例题选讲例1、设)1,0(21222≠>>++a a a a x x，求x 的取值范围。

例2、求函数22221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调区间和值域。

例3、（1）若m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数13-=x y 的图像，并指出k 为何值时，方程k x =-13有解？无解？例4、若函数)1,0(122≠>-+=a a a ay x x 在[]1,1- 上的最大值为14，求实数a 的值。

例5、已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，当0≤x 时，21193)(-+=x x x f （1）判断并证明)(x f y =在()0,∞-上单调性；（2）求函数)(x f y =的值域；（3）求不等式31)(>x f 的解集。

三、巩固练习1、求函数1()x y e x R +=∈的反函数。

2、函数求函数x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=231的单调递减区间和值域。

高考数学复习指数函数教案

充分调动学生的积极性让学生从有趣的实际例子展开思考
二、引入概念
指数函数的定义：形如y=ax(a0，且a1)的函数叫做指数函数。让学生议一议：为什么要规定a>0,且a 1呢？并思考函数是指数函数吗？得到指数函数的定义，对其的形式有更深刻的认识
三、深入探究
用描点法来作出函数分别作出函数y= ，y=
让学生画一画，然后老师并用投影仪展示几位学生做出的图像，并最终用多媒体出指数函数的图像
（1）指数函数的概念
（2）指数函数的图象与性质
（3）指数函数的简单应用
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：
通过多媒体课件以及所设计的问题和名人名言到相关教学资源
结合书本和参考书知识，结合本节课的教学目标重点难点设计本节课的教学计划和教学过程
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
对课堂延伸过程评价
通过学习，学生能凭借查找的资料，利用课堂上学到的定语从句进行交流，叙述时条理清晰。
对教师的评价
对教师课堂表现的评价
教师对教材的理解深入浅出，重难点把握准确，教学方法使用恰当。
对教师三维目标的达成
立足于学生已有的知识基础，遵循学生自身从发现问题到解决问题整个过程中，获取知识的认知规律。通过对问题的分析、讨论、理解过程，潜移默化地达成能力和情感目标。
某某省某某市灌南县大圈中学高考数学复习指数函数教案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：
由创设情景引出指数函数的定义，根据函数的特点对底数进行分类讨论，并作出底数不同类的指数函数的图像，比较归纳总结出不同底的指数函数的图像特点进而总结出性质，得到性质之后再比较大小，解指数不等式等几个方面对指数函数的性质进一步的研究，加强指数函数的性质的运用

高三复习学案指数与指数函数

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二．条件求值证明问题见数学之友第 21 页例题 1.
三．幂、指数函数单调性的运用见数学之友第 21 页例题 2.
2
指数与指数函数
1． 3 a 6 a 的值为（）
A． a
B． a
C． a
D． a
2．下列结论中，正确的命题的个数是（） 3
①当 a<0 时， (a 21) 2 a 3 ；② n a n | a | ； ③函数 y (x 2) 2 (3x 7)0 的定义域为 (0, ) ；④若 (n a ) n 与 n a n 相同。
①当 n 为奇数时， n a n =a.
②当
n 为偶数时， n
an
a =|a|= a
(a 0), (a 0).
（3）分数指数幂的意义
m
①a n = n a m （a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
②a n =
1
=
1
（a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
an
n am
2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象（3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即 x=0 时，y=1. ④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．化简 a 4 (1 a) 4 的结果是( )
A．1
B．2a－1
C．1 或 2a－1
D．0
4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（）
A． 3 a 3 b 2 a b

高三数学总复习指数函数教案理

芯衣州星海市涌泉学校11指数函数教材分析指数函数是根本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着非常广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关．有理指数幂及其运算是学习指数函数的根底．教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个详细例子y＝2x，y＝10x，y＝〔〕x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点〔1，0〕及单调性．最后装备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，表达图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．教学目的1.理解指数函数模型的实际背景．2.理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．3.通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括才能．4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．任务分析学生在学习本节内容时，已学过了一些根本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了根底．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程．教学设计一、问题情境某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……假设1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个．当x＝0时，y＝1＝20；当x＝1时，y＝20×2＝21；当x＝2时，y＝21×2＝22；当x＝3时，y＝22×2＝23；……归纳：分裂x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N．二、建立模型1.学生讨论上面得到的函数y＝2x有何特点？〔底数为常数，自变量在指数的位置上〕2.教师明晰一般地，函数y＝ax，〔a＞0且a≠1，x∈R〕叫作指数函数．考虑：为什么要限制a＞0且a≠1？〔理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝〔－2〕无意义；当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．〕3.练习在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．〔1〕y＝2x．〔2〕y＝10x．〔3〕y＝〔〕x．解：列表：描点，画图：4.观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝ax的性质〔1〕定义域是〔－∞，＋∞〕，值域是〔0，＋∞〕．〔2〕函数图像在x轴的上方且都过定点〔0，1〕．〔3〕当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．5.提出问题，组织学生讨论〔1〕函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明．〔2〕试举一个在生活、消费、科技等实际中与指数函数有关的例子．三、解释应用［例题］1.利用指数函数的性质，比较以下各题中两个值的大小：〔1〕与3．〔2〕0.8-0.1与0.8-0.2．解：〔1〕考察指数函数y＝x．∵＞1，∴y＝x在〔－∞，＋∞〕是增函数．又＜3，∴＜3．〔2〕类似〔1〕，得0.8-0.1＜0.8-0.2．考虑：怎样比较0.3与0.9的大小？2.某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出这种物质的剩留量随时间是是变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．〔结果保存1个有效数字〕解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，那么经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842；……经过x年，剩留量y＝0.84x．列表：表11-3画出指数函数y＝0.84x的图像：由图上看出y＝0.5时，x≈4．答：约经过4年，剩留量是原来的一半．说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．3.说明以下函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图．〔1〕y＝2x＋1．〔2〕y＝2x－2．解：〔1〕比较函数y＝2x＋1与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等．∴函数y＝2x＋1中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等．又y＝20+1与y＝x1相等；y＝23+1与y＝x4相等；……∴将指数函数y＝2x的图像向左平行挪动1个单位长度，即可得到函数y＝2x＋1的图像．〔2〕将指数函数y＝2x的图像向右平行挪动2个单位长度，即可得到函数y＝2x-2的图像．［练习］1.比较大小：〔1〕1.01-2与1.01-．〔2〕0.75-0.1与0.750.1．2.画出以下函数的图像．〔1〕y＝3x．〔2〕y＝〔〕x．3.求以下函数的定义域．〔１〕y＝．〔2〕y＝．4.函数f〔x〕＝ax在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，求a的值．5.用清水漂洗衣服，假设每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式．假设要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？四、拓展延伸1.在例题2中，函数y＝0.84x与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x＝0.5的解吗？考虑：你能判断出方程2x＋x2－2＝0有几个实数根吗？2.以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：表11-4身高／cm60708090100110体重／kg3091515.0210身高／cm120130140150160170体重／kg20.922631354555.05〔1〕根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝，y＝a·bx 中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？假设能，求出这个函数解析式．〔2〕假设体重超过一样身高男性平均值的倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？解：〔1〕以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可考虑用函数y＝abx，反映上述数据之间的对应关系．把x＝70，y＝0和x＝160，y＝45两组数据代入y＝a·bx，得利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02x．将数据代入所得的函数解析式或者者作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．〔2〕把x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175．利用计算器计算，得y＝68．由于78÷68≈2＞，因此，这名男生体型偏胖．点评这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进展了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画详细的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质．这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性和代表性．练习由易到难，既可以稳固根底知识，又可以进步学生的解题技能．“拓展延伸〞对本节中心内容进展了拓展，有用图像法求方程的解，判断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习．。