第八章 第四节 圆的方程
4.1 圆的方程
求过P(5，－ ，－3)， 两点， 例4 求过 ，－ ，Q(0，6)两点，且圆心在直线 －3y－6＝0 ， 两点 且圆心在直线2x－ － 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式， 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用． 圆的有关几何性质的运用．
二、学习方法指导
与直线y 例1 当曲线 y = 1 + 4 − x 2 与直线 ＝k(x－2)＋4有两个相异 － ＋ 有两个相异 交点时，实数 的取值范围是 的取值范围是( 交点时，实数k的取值范围是
5 A． 0， 12
1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
3− x 3− x 消去y得 消去 得 x 2 + +3=0 + x − 6⋅ a a
2
3a 2 − 18a + 9 ∴ x1 x2 = a2 + 1
①
由方程组消去x， 由方程组消去 ，得 (3 − ay ) 2 + y 2 + (3 − ay ) − 6 y + 3 = 0
θ 为参数
2. 圆 的 一 般 方 程 与 二 元 二 次 方 程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系； 的关系； 的关系 二元二次方程表示圆的充要条件: 二元二次方程表示圆的充要条件 A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。 ， 。
3. 若圆 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点 0,y0)在 那么点(x 在
32 2 3445 故所求圆的方程为 ( x − 19) + ( y − ) = 3 9
圆的轨迹方程
圆的轨迹方程圆的轨迹方程是一种数学表达式，用于描述一个圆的形状和大小。
在平面几何中，圆是指与一个固定点（圆心）距离相等的所有点的集合。
圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。
一、直角坐标系下的圆的轨迹方程在直角坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点的集合：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b分别是圆心在x轴和y轴上的投影值，r是圆半径。
这个方程被称为标准式或一般式。
它表明所有到圆心距离为r的点都在圆上。
如果将a和b设为0，则该方程简化为：x² + y² = r²这个方程描述了以原点为中心、半径为r的圆。
二、极坐标系下的圆的轨迹方程在极坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点：r = a其中a是常数，r是到原点距离。
这个方程表明所有到原点距离相等且与x轴夹角相等的点都在圆上。
如果将a设为圆半径，则该方程可以简化为：r = r0其中r0是圆半径。
三、参数方程下的圆的轨迹方程在参数方程下，一个圆可以表示为：x = a + r cos(t)y = b + r sin(t)其中a和b是圆心坐标，r是圆半径，t是参数。
这个方程描述了一个以(a, b)为中心、半径为r的圆。
通过改变t值，可以得到不同位置的点，从而形成一个完整的圆形。
四、总结以上三种方式都可以用来表示一个圆的轨迹方程。
直角坐标系下的标准式是最常用和最简单的一种方式，极坐标系和参数方程则更适合用于特定问题或需要更多几何直观的情况。
掌握这些不同表达方式对于理解和解决数学问题都非常重要。
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
k)， ∴直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 2 3 3 k ＋1
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，
课 后 作 业
1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 4（1＋k） 7 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 1＋k2 1＋k2 → → ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
＝2R＝2. 【答案】 D
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2013·肇庆质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－
2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 当直线l与圆相切时，k有最大值或最小值． |2k－4k| 1 2 由 2 ＝1得k ＝ ， 3 k ＋1 3 ∴k＝± . 3
圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两
(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒
高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2
考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.
≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2
a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有
= 1,
+1
-1
+
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
数学高中 圆的标准方程说课稿
今天说课的课题是《圆的标准方程》，下面我将从教材分析，教法设计，学法设计，教学过程设计，教学反思等五个方面向各位介绍我的总体教学设计．第一个方面：教材分析教材选用高等教育出版社出版、李广全和李尚志主编的《数学》（基础模板）．《圆的标准方程》是本书下册的第八章第四节内容．圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．我授课的对象为电子专业的学生，所以本内容的学习为学生专业知识和专业技能的钻研提供了理论依据．针对学生已有的认知结构和心理特征，我制定了如下教学目标：知识技能目标：掌握圆的标准方程的结构，能根据已知条件求圆的标准方程；会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标．过程性目标：能运用数形结合思想解题，培养学生观察问题，发现问题，解决问题的能力．情感、价值观目标：通过运用圆的知识解决实际问题，激发学生学习数学的热情和兴趣．根据教学大纲及对教材的分析，确定本节课重难点如下：教学重点：圆的标准方程的结构；教学难点：圆的标准方程的推导．第二个方面：教法设计为了有效地完成教学任务，本节课的教学方法我设计了：演示法：首先创造通过课件把生活中圆形的物体展示给学生，借助直观，启发引导学生归纳出圆的定义，推导出圆的标准方程．讲练结合法：把例题和练习从易到难分成三等，让学生能够比较轻松的学习，克服他们对数学的恐惧心里，恢复自信，自豪起来．第三个方面：学法设计这个方面我是这样考虑的，模具专业中职班的学生，大部分数学基础都比较差，对数学的学习存在害怕心理，因此我针对教学内容，采用了对照课件，动手实验，找出规律，强化训练．通过学生自主探求圆的标准方程，提高分析问题、解决问题的能力．第四个方面：教学过程设计环节一：导入新知这个环节我通过课件向学生展示了生活中的许多五彩圆，吸引学生的注意力．这里，提出思考题，让学生思考，然后回答．设计意图是动态课件可以引发学生的好奇心，激励学生探究新知．学生通过观察、思考，对圆会增加更多的感性认识．这里我安排学生动手实验．在平面固定一个点C，画出到C点的距离等于10的所有点．图中，点C周围的10个点到C的距离都是10．这样的点还有很多，要求学生尽量多画一些．引导学生自主发现，当这样的点越来越多时，平面上逐渐形成了一个以点C为圆心，以10为半径的圆．我这样的安排是为了：训练学生观察、发现、动手的能力，使他们亲自经历、感受、探索与发现，真正体现以学生发展为本的教育理念，避免了老师讲学生听的千人一面的传统教育模式.环节二：讲授新课这个环节我是这样设计的：在学生动手作图的基础上，提出思考题：什么是圆？让学生讨论。
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。
在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。
这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。
圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。
参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
圆的方程ppt课件
C.（x-1）2+(y-1)2=4
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
题型二 与圆有关的最值问题
【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
平面解析几何_PPT课件
y_－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0_) 不含_垂__直__于___x_轴_
的直线
碍 要 破 除
高 频
斜截 斜率为k，纵截 式 距为b
_y_＝__k_x_＋___b_
不含_垂__直__于__x_轴__
的直线
解 题
考 点 要 通 关
两点 式
过两点(x1，y1)， (x2，y2)，
_yy_2－_－_y_y1_1＝__x_x_2－－__x_x1_1
不包括垂___直__于__坐__ 标轴 的直线
训 练 要 高 效
(x1≠x2，y1≠y2)
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基名
高
础
几何条件
方程
局限性
分
知称
障
识
碍
要 打
截 在x轴、y轴上
不包括_垂__直__于__坐__
要 破
牢
距 的截距分别为a， __xa_＋__by_＝__1__ 标轴 和_过__原__点__
目录
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两直线的位置关系 第三节 圆 的 方 程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭圆 第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线的综合问题
新课标(理科)
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第八章 平面解析几何
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 公式为 k＝xy22－－xy11＝xy11－－xy22 .
训 练 要 高 效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
8.4.1圆的标准方程
M(x,y) O C(a,b) x
( x a) ( y b) r
2 2
2
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
圆心在x轴上: 圆心在y轴上: 圆过原点:
x 2 + y 2 = r2 (x a )2 + y 2 = r 2 x2+ (y b)2 = r2 (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
巩 固 知 识 典 型 例 题
例1 解
2 2 写出圆 ( x 2) ( y 1) 5 的圆心的坐标及半径．
方程 可化为 ∴
( x 2)2 ( y 1)2 5
( x 2)2 y (1) ( 5)2
2
a 2, b 1,
r 5
则圆心的坐标为 C (2, 1)，半径为 r 5．
2 2
2
O
C(a,b)
x
圆心C(a,b),半径r
特殊位置的r2 (r≠0)
M(x,y)
O
x
( x a) ( y b) r
2 2
2
特殊位置的圆的方程: 圆心在x轴上:
y
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
M(x,y)
O
C(a,0)
x
( x a) ( y b) r
2 2
2
特殊位置的圆的方程: 圆心在y轴上:
y
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
M(x,y)
O C(0,b) x
( x a) ( y b) r
2 2
2
特殊位置的圆的方程: 圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
直线与圆 第4节 圆的方程
第4节圆的方程知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法一、求圆的标准方程例1(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．解析∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，12|AB|＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.反思感悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．解(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.二、点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上D ．不确定解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，得点P 在圆外．(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________．解析 由题意知⎩⎨⎧ a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．跟踪训练2 已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部；(2)点A 在圆上；(3)点A 在圆的外部．解 (1)因为点A 在圆的内部，所以(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，且a 不为0，解得a <－2.5. (2)因为点A 在圆上，所以(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－2.5.(3)因为点A 在圆的外部，所以(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，且a 不为0，解得a >－2.5且a ≠0.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．解 方法一 (待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. [素养提升] (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．知识点三 圆的一般方程 1．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形一、圆的一般方程的辨析例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆． (1)求实数m 的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．解 (1)由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m . 反思感悟 圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( ) A ．r ＝1，(－2,1) B ．r ＝2，(－2,1) C ．r ＝2，(2，－1) D ．r ＝1，(2，－1) 解析 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r ＝1，(2，－1)．(2)若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．m <12 B ．m >12 C ．m <0 D ．m ≤12解析 因为x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则1＋1－4m >0，所以m <12.二、求圆的一般方程例2 已知圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． 解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ② 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③ 由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0，∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径长 r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2.(*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322， 代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37. 故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 反思感悟 求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组解出系数得到方程．跟踪训练2 (1)圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程是____________________．解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.(2)已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，则△ABC 的外接圆的方程是__________________． 解析 设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 三、求动点的轨迹方程例3 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵⎩⎨⎧x ＝2＋x02，y ＝0＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y . 又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 反思感悟 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练3 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程． 解 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x2＝x 0，0＋y2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．1．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B.2．若点A (a ＋1,3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0,5)D ．[0,5]解析 由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C. 3．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 4．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析 ∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.5．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋y －3＝0对称的圆的标准方程是________________．解析 设圆心A (3，－1)关于直线x ＋y －3＝0对称的点B 的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3·(－1)＝－1，a ＋32＋b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.6．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的标准方程是________________．解析 将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)， 从而所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.7．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A ．m <1 B ．m >1 C ．m <14D.14<m <1 解析 方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0，表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m >0，解得m <1. 8．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22C ．1 D.2 解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.9．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝FD ．E ＝F解析 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D2，即D ＝E .10．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________． 解析 点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部且不包括边界， 则(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，解得a <1.11．已知三角形的三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 三点都在圆上，∴A ，B ，C 三点的坐标都满足所设方程， 把A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)的坐标依次代入所设方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋E ＋F ＋17＝0，－6D ＋3E ＋F ＋45＝0，3D ＋F ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝－9，F ＝－12，∴所求圆的方程为x 2＋y 2＋x －9y －12＝0.12.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，② 把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4. 所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.13．已知圆心在x 轴上的圆C 经过A (3,1)，B (1,5)两点，则C 的标准方程为( ) A ．(x ＋4)2＋y 2＝50 B ．(x ＋4)2＋y 2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝50D ．(x －4)2＋y 2＝25解析 根据题意，设圆的圆心C 的坐标为(m ，0)，若圆C 经过A (3,1)，B (1,5)两点，则有(3－m )2＋1＝(m －1)2＋25，解得m ＝－4，即圆心C 为(－4,0)，则圆的半径r ＝|CA |＝(3＋4)2＋1＝50， 则圆C 的标准方程为(x ＋4)2＋y 2＝50，故选A.14．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1. 由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.15．已知直线(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0恒过定点P ，则与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝36 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝25 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝18 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝9解析 由(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0，得(2x ＋3y －1)λ＋(3x －2y ＋5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，3x －2y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即P (－1,1)． ∵圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC |＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，故选B.16．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为__________． 解析(x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.17．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆，又方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，r 2＝－34a 2－3a . 又r 2>0，即－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故该圆的圆心在第四象限．18．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析 设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，∵Q (3,0)，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.19．已知圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋a ＝0关于直线y ＝x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析 由题意知，直线y ＝x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b ＝5， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝13－a ， 所以a <13，由此得a －b <8.20．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 解析 ∵r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．21．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为______________． 解析 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，设其圆心为C 1，则圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1. 设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.22．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的标准方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.23．已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( )A. 2 B ．2 2 C.233D ．23解析 设M (x ，y )，由|MP 1|＝2|MP 2|，可得(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 化简得(x －3)2＋y 2＝8，即M 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动， 又12MPP S＝12·|P 1P 2|·|y M|＝|y M |≤2 2.故选B. 24．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为以(－3,4)为圆心，半径为2的圆，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285.。
8圆的标准方程
D 2 E 2 4F ;
直线与圆的位置关系
平面内直线和圆的位置关系有三种
1、相离：无交点
2、相切：仅有一个交点
3、相交：有两个交点 也可以由圆心到直线的距离d与半径r的 关系来判断 1、d>r:直线与圆相离
3、d=r ：直线与圆相切 2、d<r：直线与圆相交
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示？ 根据两点间距离公式：P 1P 2 则点M、A间的距离为：MA 即：
x2 x1 y2 y1
2
2
.
x a 2 y b2 .
p M | MA | r
( x a ) 2 ( y b) 2 r
( x a) 2 ( y b) 2 r 2
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程
问题:圆的标准方程有什么特征?
（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；
（2）两个变量的系数都是1
（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。
特别地：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？
x 2 +y 2 = r2
练习
1、圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程为（ ） A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
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第八章 第四节 圆的方程
1.(2009·重庆高考)圆心在
( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：由题意知圆心为(0,2)，
则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．
∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2
， 解得a ＝1，r ＝ 2.
∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：B
3．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为________．
解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2
－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，
所以－a 2－12
＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1， 当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3. 答案：3
4.若圆x 2＋(y －1)2＝10恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋m ≥0，|1＋m |2
≥1. ∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.
答案：m ≥－1＋ 2 5．若实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则y x 的最大值为________． 解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x
的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2
＝3，得k ＝±3， 结合图形可得(y x )max ＝3，(y x
)min ＝－ 3. 答案： 3
6.(2009·上海高考)点P ( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，
则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2
， 代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A
7．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －3)2＝m 2＋4的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是 ( )
A ．x 2＋y 2＝4(x ≠0)
B ．(x －3)2＋y 2＝4(x ≠0)
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝5(x ≠0)
D ．x 2＋y 2＝5(x ≠0)
解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，
则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，
∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，
故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．
答案：D
8.以双曲线y 2－x 2
3
＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝2
C ．(x －2)2＋y 2＝2
D ．x 2＋(y －2)2＝4
解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e ＝2.
∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.
答案：D
9．(2010·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.
解析：OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，〈OA ，OB 〉＝120°，
则x 1x 2＋y 1y 2＝OA ·OB ＝|OA |·
|OB ―→|cos120° ＝2×(－12
)＝－1. 答案：－1
10．已知以点C (t ，2t
)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0， 由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t
， 令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，
令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )， ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t
|＝4(定值)． (2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，
∴k OC ＝12，∴2
t t ＝12
，解得t ＝2或t ＝－2， 而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，
∴D ＝－4，E ＝－2，
∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
11．(2010·青岛二检)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2
(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2
a ＋
b －2＝0，
解得：a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形P AMB 的面积为
S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.
又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，
所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，
所以|PM |min ＝|3×1＋
4×1＋8|
32＋42＝3，
所以四边形P AMB 面积的最小值为
S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。