第八章 第四节 圆的方程

第八章 第四节 圆的方程

1.(2009·重庆高考)圆心在

( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D ．x 2＋(y －3)2＝1

解析：由题意知圆心为(0,2)，

则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

答案：A

2．(2009·辽宁高考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( )

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．

∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2

， 解得a ＝1，r ＝ 2.

∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

答案：B

3．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为________．

解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2

－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，

所以－a 2－12

＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1， 当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3. 答案：3

4.若圆x 2＋(y －1)2＝10恒成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

1＋m ≥0，|1＋m |2

≥1. ∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.

答案：m ≥－1＋ 2 5．若实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则y x 的最大值为________． 解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x

的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．

设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2

＝3，得k ＝±3， 结合图形可得(y x )max ＝3，(y x

)min ＝－ 3. 答案： 3

6.(2009·上海高考)点P ( )

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，

则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2

， 代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A

7．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －3)2＝m 2＋4的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是 ( )

A ．x 2＋y 2＝4(x ≠0)

B ．(x －3)2＋y 2＝4(x ≠0)

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝5(x ≠0)

D ．x 2＋y 2＝5(x ≠0)

解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，

则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，

∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，

故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．

答案：D

8.以双曲线y 2－x 2

3

＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝2

C ．(x －2)2＋y 2＝2

D ．x 2＋(y －2)2＝4

解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e ＝2.

∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.

答案：D

9．(2010·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.

解析：OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，〈OA ，OB 〉＝120°，

则x 1x 2＋y 1y 2＝OA ·OB ＝|OA |·

|OB ―→|cos120° ＝2×(－12

)＝－1. 答案：－1

10．已知以点C (t ，2t

)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．

(1)求证：△OAB 的面积为定值；

(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．

解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0， 由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t

， 令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，

令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )， ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t

|＝4(定值)． (2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，

∴k OC ＝12，∴2

t t ＝12

，解得t ＝2或t ＝－2， 而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，

∴D ＝－4，E ＝－2，

∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.