导数在《数学分析》教学中的作用

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例谈导数的应用

例谈导数的应用张港（江苏安全技术职业学院，江苏徐州221000）课程◆教法◆应用应用［摘要］导数是微积分中的重要概念，几乎贯穿于整个数学分析的教学中。

同时，导数在高中阶段也有相应的应用。

利用导数，可以求解切线的方程、证明不等式、求解函数的极值和最值。

因此，导数既是高中数学的重要知识点，也是高等数学的核心概念。

［关键词］导数；函数；实践方程［中图分类号］G712［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2017）13-0174-01一、导数的来龙去脉设函数y=f （x ）在点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处有增量Δx ，（x 0+Δx ）也在该邻域内时，相应的函数取得增量Δy =f （x 0+Δx ）-f （x 0）；如果Δy 与Δx 之比当Δx →0时极限存在，则称函数y =f （x ）在点x 0处可导，并称这个极限为函数y=f （x ）在点x 0处的导数记为f ′（x 0），也记作y ′|x=x 0或dy dx|x=x 0，即f ′（x 0）=lim Δx→0Δy Δx =lim Δx→0f （x 0+Δx ）-f （x 0）Δx.导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如，在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

二、导数的应用（一）利用导数求解曲线的切线方程例1求曲线y=xe x -1在点（1，1）处的切线方程。

解：因为y ′=（xe x -1）′=e x -1+xe x -1，所以y=xe x -1在点（1，1）处的导数是y ′|x =1=e 1-1+e 1-1=2，故曲线y=xe x -1点（1，1）处的切线斜率是2，故曲线y=xe x-1在点（1，1）处的切线方程为y -1=2（x -1），即y =2x -1.评注：利用导数求解曲线的切线方程的常规方法是：（1）求出所给函数的导数；（2）将曲线上某一点的横坐标带入导函数，求出导数值；利用点斜式求出切线方程。

浅谈数学中导数的概念及导数的应用

浅谈数学中导数的概念及导数的应用作者：谭清华来源：《新教育时代·教师版》2017年第30期摘要：本文以导数概念作为切入点，阐述导数在几何知识和函数知识中的应用。

关键词：数学导数概念导数应用引言导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，也是学习高等数学的基础所在。

在中学数学中，导数被广泛应用，是历年高考数学的重点内容。

掌握导数的基础知识和应用技能，以便更好地解决中学数学问题，一直以来是中学教师和学生的关注的重点所在。

但是由于导数具有抽象、复杂等特点，对学生而言仍是学习数学中的一个难点知识，何况导数还与几何知识、函数知识等其他知识之间有着紧密的联系。

学好导数知识是一线中学数学教师所要面对的重要问题，也是数学教学的基础要求。

一、导数的概念导数是数学领域中的重要概念，隶属于微积分的范畴。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率[1]。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）。

认识到导数，对于函数的增减性的认识和学习具有重要的意义。

一般而言，y=f （x）在（a，b）数值范围内可导，如果在（a，b）范围内，f（x）的取值始终大于零二、导数的应用1.导数在几何方面的应用在几何学习中，导数具有重要的作用和意义。

应用导数概念来认识和学习相关的几何知识是导数概念的重要拓展，更是数学学习中的重点内容。

微积分学习的重点知识便是导数，导数与数轴之间有着紧密的联系，在一定区域内的x的取值依据相应的规律都有相对应的y值，具体而言便是设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有着一定的定义，当自变量x在在这个区域取值的时候，都有相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。

《导数在函数中的应用实例》

摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。

本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。

一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。

导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。

二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。

解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 2x。

将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。

因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。

接下来，利用点斜式方程求出切线方程。

点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。

将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。

2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。

解：求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 1/x。

将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。

因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。

利用点斜式方程求出切线方程。

将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。

三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。

解：求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据求导法则，f'(x) = 3x²。

由于x²≥0，所以f'(x)≥0。

因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。

大学数学数学分析的基本概念与定理

大学数学数学分析的基本概念与定理数学分析是大学数学的基础课程之一，它研究实数域上的函数及其性质，是数学学科的重要组成部分。

在学习数学分析的过程中，掌握一些基本的概念与定理是非常重要的。

本文将介绍数学分析中的一些基本概念与定理。

一、实数与数集在数学分析中，实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，记作R。

实数具有完备性和有序性等基本性质。

数集是指一些数的集合，它可以是有限集也可以是无限集。

常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

二、极限与收敛在数学分析中，极限是数列或函数的重要概念之一。

数列极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个固定的数。

函数极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数的值趋向于一个固定的数。

收敛是指数列或函数具有极限的性质。

如果一个数列或函数存在极限，我们称它为收敛的；如果不存在极限，我们称它为发散的。

三、连续性与导数在数学分析中，连续性与导数是函数的重要性质。

连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质，如果一个函数在某个点处连续，则在该点处左右极限存在且相等。

导数是函数的变化率的概念。

对于实数函数，如果该函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。

导数的计算公式和性质是数学分析中的重要内容之一。

四、积分与微分方程积分是函数的逆运算。

在数学分析中，我们通过积分可以计算曲线下的面积、求定积分、解微分方程等。

微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是工程技术和物理学中常见的数学模型。

五、级数和函数项级数级数是数列之和的概念。

在数学分析中，级数是由一系列无穷多个数相加得到的结果。

常见的级数有等比级数和调和级数等。

函数项级数是将函数的无穷项和考虑进去的级数，它在实际问题中具有重要的应用。

六、基本定理与中值定理在数学分析中，基本定理起到了核心作用。

常见的基本定理有微积分基本定理、泰勒展开定理等。

中值定理是函数与导数之间的关系定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

总结起来，数学分析包含了实数与数集、极限与收敛、连续性与导数、积分与微分方程、级数和函数项级数、基本定理与中值定理等基本概念与定理。

数学分析III

数学分析III数学分析III（Mathematical Analysis III）是大学数学系最后一门正规的大功课，也是大学数学系最重要的一门课程之一。

在这门课程中，学生需要掌握高级微积分和多元函数的概念、性质和重要的应用。

本文将简要介绍数学分析III的主要内容，以及它在数学和应用中的重要作用。

数学分析III的主要内容包括：1. 多元函数的概念和性质：多元函数包括二元函数、三元函数等，是指输入参数有两个或三个以上的函数。

在数学分析III 中，学生需要掌握多元函数的定义、极限、连续、偏导数、方向导数、二阶偏导数等基础概念和性质。

2. 多元函数的方向导数和梯度：方向导数是指一个多元函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数，是多元函数的特殊导数。

学生需要掌握方向导数的定义、性质，以及梯度的概念，是指一个多元函数在某一点上的梯度是一个向量，指向上升最快的方向。

3. 多元函数的极值和条件极值：多元函数的极值是指一个多元函数在某一点上取得最大或最小值，而条件极值是指一个多元函数在满足一定条件下取得的极值。

学生需要掌握多元函数的局部极值和全局极值的概念和性质，以及如何求解多元函数的条件极值。

4. 多元函数的积分和重积分：多元函数的积分是指对多元函数进行积分运算，求出在某个区域内的面积、体积或质量等量。

重积分是指在三维坐标系中求解多元函数的积分，如三重积分、二重积分等。

学生需要掌握多元函数的积分和重积分的概念、性质和重要的计算方法。

5. 微分方程和偏微分方程：微分方程是指一个含有导数的方程，而偏微分方程是指一个含有偏导数的方程。

在数学分析III中，学生需要掌握微分方程和偏微分方程的求解方法和解的存在性与唯一性，以及应用于物理、工程和经济等领域的例子。

数学分析III在数学领域和应用领域具有重要作用，以下是它的几个重要应用：1. 物理学：多元函数的概念和性质以及微积分和微分方程的方法在物理学中有着广泛的应用，在量子力学、电磁学、热力学、流体动力学等多个领域都有重要作用。

考研《数学分析》考试大纲

707数学分析第1章函数1.1 集合与实数系1.2 函数概念1.3 函数的特性1.4 反函数和复合函数1.5 初等函数第2章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数极限2.3 无穷小和无穷大2.4 连续函数第3章导数与微分3.1 导数的概念3.2 基本初等函数的导数公式3.3 导数的运算法则3.4 高阶导数3.5 微分3.6 导数与微分的简单应用第4章微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.2 不定式的定值法4.3 泰勒公式4.4 导数在函数研究中的应用第5章不定积分5.1 原函数与不定积分5.2 换元积分法5.3 分部积分法5.4 有理函数和积分法5.5 三角函数有理式的积分法第6章定积分6.1 定积分的概念6.2 定积分的性质6.3 微积分基本定理6.4 定积分的计算6.5 定积分的应用6.6 广义积分6.7 广义积分的判别法第7章空间解析几何与向量代数7.1 空间直角坐标系7.2 向量代数7.3 空间平面7.4 空间直线7.5 空间曲面7.6 空间曲线第8章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.3 多元复合函数的微分法8.4 隐函数的微分法8.5 多元函数的泰勒公式8.6 方向导数和梯度8.7 偏导数的应用第9章重积分9.1 二重积分9.2 三重积分第10章级数10.1 常数项级数的概念与性质10.2 正项级数10.3 任意项级数10.4 函数项级数的一致收敛10.5 幂级数10.6 泰勒级数10.7 傅里叶级数。

导数在其他学科中的应用

导数是数学分析的重要组成部分,它在经济、物理、几何、微积分等学科中起着极其重要的作用。

本文主要论述了导数在经济学科中的广泛应用。

一、导数的定义设函数y= ()在点的某领域内有定义,若极限(1)存在,则称函数f在点x0可导,并称该极限为函数f在点x0处的导数,记作f' (x0) 。

令x=x0 +, =f (x0+) -f (x0) ,则(1)式可改写为:(2) 。

所以,导数是函数增量与自变量之比的极限。

这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数f"(x0)则为f在x0处关于x的变化率。

若(1)或(2)式极限不存在,则称f在点x0处不可导。

以下介绍导数的有关应用:经济方面,物理方面,极限方面,函数方面,最优化问题方面以及其它生活中的应用实例方面来阐述导数的广泛应用:二、导数概念在经济学中的应用将导数概念应用于经济学中,主要是指利用导数研究经济变量,如成本、收入、利润、需求等函数的变化率,其一为瞬时变化率,在经济学中称为“边际”;其二为相对变化率,在经济学中称为“弹性"(一)总成本函数与边际成本总成本是指生产一定数量的某种产品所需投入的总费用,它是产量的函数,一般用C表示,设某产品产量为时所需的总成本为C=C (x),称为总成本函数,简称为成本函数,它是由固定成本co (与产量无关的资源投入,如厂房、设备、企业管理费、广告费等)及可变成本c1 (x) (与产量相关的资源投入,如原料、电力、人力等)两部分组成,一般函数关系为C (x) =C0+C1 (x) ,这是一个单调递增函数。

若产量是连续变化的,且函数C(x)在点x处可导,则有。

C' (x)为成本函数的瞬时变化率,称为产量为x时的边际成本,又记作MC。

按导数定义, C' (x)近似表示在产量为x,产量的改变量的绝对值|很小时,总成本变化的速度,即平均增加或减少一个单位产量时总成本改变量,而经济学家对边际成本C' (x)的解释是C' (x)表示当产量为x 时,再生产一个单位产品所需增加的成本的近似值。

导数的数学原理与应用

导数的数学原理与应用1. 导数的数学原理导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的定义如下：定义1：设函数f(x)在某一点x0的某一邻域内有定义。

若极限$\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x_0+\\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}$ 存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)或 $\\frac{{df(x_0)}}{{dx}}$。

导数可理解为函数在某一点处的切线的斜率，它的几何意义在于刻画了函数的局部变化规律。

导数有时也被称为函数的瞬时变化率。

导数的计算方法有很多，常见的有以下几种：•基本初等函数求导法则：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数计算方法。

•四则运算法则：根据四则运算法则，可以通过已知函数的导数来求导。

•复合函数求导法则：利用链式法则，可以求复合函数的导数。

•隐函数求导法则：对于隐函数关系，可以通过求导来解决。

2. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面的应用。

2.1 切线与法线导数的几何意义之一是切线的斜率。

切线是函数曲线在某一点处的近似线性逼近，它与曲线在该点处的斜率相等。

利用导数的定义和计算方法，我们可以求出函数曲线在任意一点处的切线。

除了切线，导数还可以帮助我们求解曲线在某一点处的法线。

法线是与曲线在某一点处垂直的直线，其斜率的相反数与切线的斜率相等。

因此，通过求出导数，我们可以得到曲线在该点处的法线。

2.2 函数的极值在数学分析中，导数的一个重要应用是求解函数的极值。

函数的极值包括两种情况：极大值和极小值。

利用导数可以判断函数在某个区间内是否存在极值，并找到所有的极值点。

求解函数的极值可以通过以下步骤进行：1.求出函数的导数；2.解方程f′(x)=0，找到函数的驻点；3.利用二阶导数判定法，分析驻点的性质：若$f’‘(x) > 0 $，则该点为极小值点；若$f’’(x) < 0 $，则该点为极大值点；4.若驻点处的二阶导数为零或不存在，则无法确定该点的性质，需要通过其他方法进一步分析。

导数在微积分中的地位与作用

导数在微积分中的地位与作用
微积分是数学分析中一个重要的研究内容，它的作用十分重要，它是研究函数
变化的重要工具和方法。

在微积分中，导数是研究函数变化的核心内容，它的学习被认为是微积分中最重要的部分。

导数的概念源于微积分的研究历史，可以追溯至欧几里德的著作。

在欧几里德
的《几何原本》中，他通过分析初等方程，表明了函数y=f(x)中，每一个点x处
负变化量y之间的比例关系，从而对导数概念进行了初步的研究。

十八世纪数学家拉普拉斯，将欧几里德的概念拓展，将其内容延伸到斜率多变的函数变化中，进一步推广了欧几里德原本的研究成果，将导数的概念普及到一般情况。

在实际应用中，导数的使用十分广泛，实际上，导数是微积分的一个重要概念，它的使用广泛，不仅可以用于分析函数变化的若干重要现象，也可以用于研究相关的物理学原理及其应用推导。

例如，在物理实验中，由于物体运动的存在，研究物体变化作用时，一定要考
虑到速度变化时的变化关系，这时就需要用到导数，来研究物体在各点速度变化关系，有助于正确判断物体运动规律。

另外，有时也需要通过研究函数变化特性来分析某种不确定的因素的出现机制，若是函数的变化特性十分复杂，那么就必须使用导数来分析函数所表达的信息，从而得出有用的结论。

总之，导数在微积分中十分重要，它对于分析函数变化、研究不确定因素等都
十分有用，因此，微积分中不可或缺的就是它。

数学分析的基本原理

数学分析的基本原理数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微积分等等数学概念和理论。

数学分析的基本原理是数学分析学科的基石，对于深入理解和应用数学分析具有重要意义。

本文将介绍数学分析的基本原理，并探讨其在解决实际问题中的应用。

一、函数与极限在数学分析中，函数是一个重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

函数可以是一条曲线、一张图像，也可以是一组数学表达式。

函数的定义域、值域、图像等都是我们研究函数的重要方面。

函数的极限是数学分析的核心概念之一。

极限反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过求函数的极限可以揭示出函数的性质和行为。

极限的符号表示是数学分析中的常用符号，例如：lim(f(x)) = L 当x→a。

二、连续性与间断点在数学分析中，连续性是一个重要的概念。

连续函数的定义是在定义域内函数的值随着自变量的变化而连续变化。

连续函数具有许多重要性质，例如：介值定理、最大最小值定理等。

间断点是指函数在某些点上不满足连续性的性质。

间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等不同类型。

分析函数的间断点能够帮助我们更好地理解函数的性质。

三、导数与微分导数是数学分析中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义可以通过极限来表达，导数的计算可以通过求导公式或者导数的性质来完成。

导数的符号表示是微积分中常用的表示方式。

微分是导数的一个应用，它能够帮助我们求得函数在某一点的近似值，并进一步研究函数的性质。

微分的本质是线性逼近，通过微分可以对函数进行线性近似，从而更好地理解函数的行为。

四、积分与定积分积分是数学分析中的重要操作，它的本质是函数的求和过程。

定积分是积分的一种特殊形式，表示在一定区间内函数的积分值。

积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等方法来完成。

定积分在求解面积、求解曲线长度等实际问题中具有广泛的应用。

通过积分，我们可以对函数的量进行积累和求和，从而获得更多实际问题的解答。

于品数学分析讲义pdf

于品数学分析讲义数学分析是现代数学的重要分支之一，它以数学符号和符号语言为基本工具，对数学中一些基本概念、定理、方法进行深入研究，旨在建立更完善的数学理论体系。

本讲义将为大家介绍数学分析中的一些基本概念和定理。

一、极限与连续极限是数学分析中最重要的概念之一。

在极限的定义中，或者通过函数极限或序列极限的概念，给出了一个不断逼近的过程。

极限的概念在微积分学和实分析学的研究中起到了关键性的作用。

连续是另一个重要的概念。

在分析中，一个函数被称为连续的，如果它在其定义域的每个点都有一个极限，并且这个极限等于函数在这个点的函数值。

基于连续性概念，可建立导数、积分等概念。

二、导数与微分导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在给定点的局部变化率。

导数在几何学中有着广泛应用，能标识曲线在给定点处的斜率。

基于导数概念，我们可以研究函数的单调性、函数的极值、泰勒公式等一系列问题。

微分是导数的积分。

在微积分中，微分是一个重要的工具，能够计算和协调连续函数和一些非常小的函数值变化。

微分的重要性在于它让我们得以计算复合函数的导数、微分方程等。

三、积分与测量积分是一种离散函数值的求和方法通过逐渐取函数值的一个序列的极限，从而定义连续函数的积分。

基于这一概念，我们可以计算曲线下方或上方的面积，计算函数区间内某一特定范围内的总变化量等。

测度是用于描述空间中的点集大小的数学概念。

在实分析中，测度是广泛使用的，用于测量几何对象的大小。

测度理论已经在概率论、数值分析和信号处理等领域得到了广泛的应用。

总之，数学分析是数学中的一个基础分支，它涉及许多不同领域，如微积分学，实分析学，复分析学等。

它提供了一种独特的数学形式化工具，帮助我们在更加理性和科学的基础上了解世界，发现新的数学定理和推广不同的数学方法，从而为未来的数学建设提供了强有力的基础。

数学分析方向导数和微分

数学分析方向导数和微分
方向导数与微分的概念
方向导数与微分是高等数学中的重要概念，他们经常用来描述函数在特定点的变化情况。

方向导数是沿着一些特定方向的梯度。

在研究函数的特定点处的泰勒展开时尤为重要，而它有其独特的应用和重要意义。

而微分则是描述函数变化的另一个重要概念，主要是用来分析函数特征和变化关系。

方向导数的概念
方向导数是沿着一些特定方向的梯度。

它可以用来描述在一些点处的函数变化的大小和方向，根据定义：设$f（x，y）在点$(x_0,y_0)$处可导，则对曲线$C$中任一点$(x,y)$来说，有：
$$f'_{\vec{n}}(x_0,y_0)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x，y)-f(x_0,y_0)}{{\vec{n}}\cdot (x-x_0,y-y_0)} $$
其中，${\vec{n}}$为指定方向的向量。

方向导数的特点
方向导数的特点：
1、方向导数表示了关于点$(x_0,y_0)$中测量变化时，在一些指定方向上的变化率；
2、方向导数关注的是函数其中一点上的其中一方向的变化率，而不考虑其他方向上的变化率；
3、在其中一点上，各个方向导数并不一定相等，可能有差异；
4、方向导数可以用其他量纲表示，即可以根据不同的量纲来表示；
5、方向导数可以用来计算泰勒展开式，从而用来描述函数的局部取值情况；
微分的概念
微分是一道必考的重要考点。

导数在中学数学中的应用

性质1函数在内可导，且在任意子空间内都不恒等于0.当时：
函数在上单调递增；
函数在上单调递减；
性质2（1）函数的极小值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
4.1 导数在函数问题中的应用
导数在函数中应用比较广泛，在求函数的单调区间，分析函数的单调性都用到了导数，导数作为一种有用的数学方法，在解决函数问题时可以使复杂的函数问题简单化。导数不仅可以分析函数的图像，在研究函数的单调性、确定函数在给定区间的根个数、极值及最值时都利用到了导数的某些性质。在解决中学函数问题时，本节利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值等等。即应用求导数的方法来解决函数问题。
2.2 国内外研究现状评价
导数无论是在数学理论的研究或者实际应用中都相当重要，现查阅到的国内外资料中，有关导数的中值定理研究成果颇多，许多文献对中值定理的证明方法进行了改进，提出了其它的证明方法，这极大扩展了导数理论的研究范围。但是几乎所有的参考文献都是针对导数的有关理论进行了理论方面的证明研究，而对于它们在数学中的具体应用还没有触及，然而研究导数在数学中的具体应用才具有比较好的实用价值。如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并分析这些例子更进一步的价值意义是有关导数应用方面的一项很有意义的研究工作。
3 预备知识
在应用导数工具函数的单调性，单调区间，极值，最值等问题之前，下面对所涉及到的知识点进行列举。
定义1 假设存在一个函数，它定义在点的某个区域内。那么如果

数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。

教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

《数学分析(中)》课程标准

《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。

（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。

通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。

（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。

2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。

通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。

3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。

表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。

平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。

（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。

6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。

导数的定义及其应用

导数的定义及其应用【摘要】导数是近代数学的基础，是数学分析课程中最重要的基本概念之一；是联系初高等数学的纽带。

导数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。

同时导数也是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数单调性、周期、奇偶性以及切线问题以及一些优化问题的重要工具。

此外导数在物理学，化学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.本文就导数的起源、定义、以及导数概念中要注意的几个问题对导数做了概述。

其次，就导数在求切线斜率、求极限、证明单调性、判断奇偶等上的应用分别举例做了详细介绍。

之后，从求某一点的导数、求复合函数的导数及求分段函数在分段点处的导数对导数的求法做了介绍。

最后对全文做了小结。

关键词：导数定义应用一、导数1. 导数的起源早期导数概念-----特殊的形式。

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。

在作切线时，他构造了差分f(A E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。

17世纪----广泛使用的“流数术”。

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。

牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

19世纪导数----逐渐成熟的理论。

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox)。

数学趣史数学分析的发展与应用

数学趣史数学分析的发展与应用数学趣史：数学分析的发展与应用数学分析是数学的一个重要分支，它以研究极限、连续性、收敛性以及函数等概念为基础，通过运用微积分和级数等工具，将抽象的数学理论应用于实际问题的解决中。

本文将带您走进数学分析的发展历程，并探讨其在现实生活中的应用。

一、数学分析的起源数学分析的起源可追溯到古希腊时期的柏拉图、欧几里得等数学家，但直到17世纪的牛顿和莱布尼茨才真正奠定了数学分析的基础。

他们独立地发明了微积分，打破了传统数学的束缚，为数学分析的发展铺平了道路。

二、微积分的奠基人1. 牛顿牛顿是微积分的奠基人之一，他提出了微分和积分的基本概念，并利用这些概念建立了微分方程和牛顿运动定律等重要理论。

牛顿的工作对数学分析的发展起到了重要推动作用。

2. 莱布尼茨莱布尼茨也是独立发明微积分的数学家之一。

他提出了微积分的符号表示方法，引入了求导和积分的符号记号，极大地简化了计算过程，并确立了现代微积分的基本形式。

三、数学分析的基本概念1. 极限极限是数学分析的基本概念之一，它描述了函数在某点附近的趋近情况。

通过极限的概念，我们可以研究函数的连续性、收敛性以及导数等重要性质。

2. 连续性连续性是函数的重要性质之一，它表明函数在其定义域内没有突变或跳跃。

连续函数在数学分析中有着重要的地位，它们具有很多优良的性质，能够方便地进行各种计算和推导。

3. 导数导数是函数的变化率，表示函数在某点的瞬时变化速率。

导数在数学分析中有着广泛的应用，它可以用来求解函数的最值、刻画曲线的形状以及解决实际问题等。

四、数学分析的应用数学分析作为一门基础学科，在现实生活中有着广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用领域。

1. 物理学物理学是数学分析的重要应用领域，它与微积分和偏微分方程等数学工具密切相关。

通过运用数学分析的方法，可以研究物体的运动、力学、电磁学、热力学等物理现象，并推导出相应的物理模型和规律。

2. 经济学经济学中的微观经济学和宏观经济学等研究领域都离不开数学分析的支持。