2019春九年级数学下册 第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式课件(新版)北师大版
2.3 确定二次函数的表达式(1)
0)，B(3，0)两点，； (2) 若直线 AM′ 与此抛物线的另一个交点为 C ， 求△ CAB 的面积；
(2)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点Q，
使得四边形 APBQ 为正方形？若存在 ， 求出此抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由．
第2章 二次函数
2．3 确定二次函数的表达式
第1课时 已知图象上的两点求表达式
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法 求其表达式.
2 ． 已知抛物线y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示 ， 则该抛物线的 y＝2(x－1)2 ． 表达式为：______________
3 ．如图 ， 已知二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随
x的增大而增大时，x的取值范围是 1 x> _________ ． 2
• 3．已知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，最低点到x轴的距离为2，且其图象 经过点(0，3)，求此函数的关系式．
例2、已知二次函数y=ax2+c的图象经过 （2,3）和（-1，-3），求这个二次函 数的表达式。
1 ．抛物线 y ＝ 2x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 ( － 1 ， 0) ，
例1、一名学生推铅球时，铅球行进 的高度y与水平距离x之间的关系如图所示， 其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y 与x之间的关系吗？
1、已知某二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为
2 ． 已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ， 3) ， 且它的顶点是原点，那么这个二次函数的
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31
y 2 x 3x 5 2 x ,
北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
北师版初中数学九年级下册精品教学课件 第二章二次函数 3确定二次函数的表达式
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5.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
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解 (1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),
∴将A(0,3),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+2x+c,解得a=-1,c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)由顶点坐标
4-2
- ,
2
4
得 D(1,4).
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1.
在Rt△BED中,根据勾股定理得 BD= 2 + 2 = 22 + 42 =2 5.
C.y=-3(x+1)2+3
D.y=3(x+1)2+3
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3.函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1,0),则b等于
4
.
把点(-1,0)的坐标代入函数表达式,得0=1-b+3.解得b=4.
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4.已知二次函数y=ax2-x+a2-1的图象如图所示,则a的值是
1
.
图象过原点(0,0),∴0=a2-1,∴a=±1.
达式为 y=x2-2x+3 .
3.已知抛物线y=ax2-5x+c与x轴的交点坐标为(1,0)与(4,0),这个抛物线的函数
y=x2-5x+4
表达式为
.
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北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)确定二次函数的表达式 课件(共18张PPT)
新知探究
【跟踪训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）， B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的解析式.
解析 : 设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
y
根据题意，得
a-b+c=0， 9a+3b+c=0， c=-1，
解得
AOB C
x
∴所求抛物线的解析式为
.
课堂小结
二次函数解析式的求法 :
新知探究
点拨： 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 2.已知二次函数与x轴的两个交点和另一点的坐标，可利用交点 式求二次函数的表达式.
新知探究
知识点三： 由三个点的坐标确定二次函数表达式. 例3：如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一交点为A(-6,0),与y轴的 交点为C(0,3),且经过点G(-2,3).求抛物线的表达式.
如何求二次函数的解析式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式.
新课导入
知识点一：运用顶点式确定二次函-3),与y轴交点为(0，-5),求抛
物线的解析式.
解：设所求的抛物线的解析式为y=a(x＋1)2-3, 由点(0,-5 )在抛物线上，得 a-3=-5, 得a=-2，
（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式. 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地 选用一种函数表达方式.
课堂小结
规律方法 : 1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a, b, c的 值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c的值，就可以写出二次函数的解析式.
北师大版九年级数学下册教学课件二次函数
(2)当x=3cm时,S=225－4×32=189(cm2).
D B
y＝－2x2＋12x－16
－2
12
-16
2
10.如图所示,矩形的长为4cm,宽为3cm,如果矩形的长与宽 都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； (2)当矩形的长与宽都分别增加2cm、3cm时,矩形的面积各 增加多少？ (3)要使矩形的面积增加为18cm2,长和宽 都增加多少米？
观察函数关系式①和②,并思考以下问题： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………① y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)……②
(1)函数关系式①和②的自变量各有几个？(各有1个) (2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几 次多项式？ (分别是二次项式) (3)函数关系式①和②有什么共同特点？
［x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2］
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。 ［y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)］
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10)化为： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)………………(1)
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)………………(2)
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？ [利润=(售价－进价)×销售量］ 2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利 润是多少元？
［10－8=2(元),(10－8)×100=200(元)］ 3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元？一天 可销售约多少件商品？
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
《二次函数》PPT优质课件
函数，且当x=60时，y=80,x=50时，y=10．在销售过程中，每天还要支
付其它费用450元．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函
数关系式．
解：（1）设y与x的函数关系式为
S x 2 30 x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的
每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
y =- x ²+30 x
y =-5x2+100x+60 000
y=100x2+200x+100
观察上面几个式子，分析它们的特点，你能试着
猜出二次函数的概念吗？注意事项是什么？
果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵
树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些
是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
数叫什么？这
节课我们一起
来学习吧.
一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的
函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
合作探究
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600
个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如
y=100x2+200x+100.
北师大版九年级数学下册《二次函数——确定二次函数的表达式》教学PPT课件(4篇)
1.设：
（表达式）
（0，－3）代入y=ax2+bx+c得
2.代：
a=－1，
9a
－
3b+c=0，
（坐标代入）
a－b+c=0， 解得 b=－4，
3.解：
c=－3，
c=－3.
方程（组）
4.还原：
∴所求的二次函数的表达式是
（写表达式）
y=－x2－4x－3.
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
CONTENTS
目
录
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
2
(2)△ABC的面积是6.
O
B
A
C
x
随堂即练
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G
（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系
a b c 6
9a 3b c 0
c 3
解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最
大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。
北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)
第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。
不共线三点确定二次函数的表达式课件湘教版数学九年级下册
那么如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再
判断第三个点是否合适这个表达式.
典例精析
例3 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，
它的图象经过这三个点？
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.
典例精析
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）
Q，M三点．
y
4
2
–4
–2 O
2
4
6
–2
–4
–6
–8
–10
y = - 4x – 1
x
典例精析
如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再
判断第三个点是否合适这个表达式.
例2中：两点P（1， -5）， Q（-1， 3）确定了一个一次函数 y = - 4x - 1 .
点 R（2， -3）的坐标不合适 y = - 4x - 1 ， 因此点 R 不在直线 PQ 上，即P， Q，
–2 O
–2
–4
++=
ቐ −+=−
+ + = −
解得 a=-3，b=4，c=2.
因此，所求的二次函数的表达式为y＝-3x2＋4x＋2．
–6
–8
–10
–12
–14
2
4
6
x
探究新知
例2 已知一个二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三点
，求这个函数的表达式？
知识要点
通过例3的解答你可以得到什么结论？
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，