微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
微积分讲座---Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
k
(k) (i) i
k
g(k) h(i) i
由于
(k) (k) (k) (k 1)
那么
h(k) g(k) g(k) g(k 1)
2
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 响应
第三章 离散系统的时域分析
(2)再求g(k)
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
g(k) k h(i) 1 k (1)i 2 k (2)i
i
3 i0
3 i0
由级数求和公式得：
k (1)i 1 (1)k1 1 [1 (1)k ]
i0
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
1 (1) 2
k (2)i 1 (2)k1 2(2)k 1
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
第六章 频响函数脉冲响应函数
x(t )dt I (t )dt I
“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。
0 (t ) (t 0) (t 0)
(t )dt (t )dt 1
0
0
若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲
(t )
量纲:[时间]
1
自读此页
x(t ) I (t )
当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I 具有力乘时间的量纲。
频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。
若已知系统的运动微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动 微分方程并消去 ejωt 项，可得到 H(ω) 的代数方程。求 解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H(ω)。
例5.1 图示弹簧—阻尼器系统。假设在质量为 m的小车上作用激励力 x(t)，小车的位移响应为 y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。 解：对于刚度为 k 的线性弹 簧和阻尼系数为 c 的线性阻 尼器，可得系统的运动微 分方程
§6-1
§6-2 §6-3 §6-4
频率响应函数
单位脉冲响应函数 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
卷积定理
本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。
常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。
单位脉冲响应计算公式
单位脉冲响应计算公式单位脉冲响应（Impulse Response）是信号处理中的重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍单位脉冲响应的计算公式，并探讨其在信号处理中的作用和应用。
单位脉冲响应是指在系统中输入一个单位脉冲信号（即冲激信号），系统的输出即为单位脉冲响应。
单位脉冲信号是一个宽度非常短、幅值为1的信号，其持续时间非常短暂。
通过输入单位脉冲信号，可以获得系统对于不同频率的信号的频率响应。
单位脉冲响应的计算公式可以表示为：h[n] = y[n]/δ[n]其中，h[n]表示单位脉冲响应序列，y[n]表示系统的输出序列，δ[n]表示单位脉冲序列。
在实际应用中，单位脉冲响应的计算可以通过离散系统的差分方程来实现。
对于线性时不变系统，其差分方程可以表示为：y[n] = ∑(h[k] * x[n-k])其中，y[n]表示系统的输出序列，h[k]表示单位脉冲响应序列，x[n-k]表示输入信号序列。
通过将单位脉冲信号输入线性时不变系统，并记录系统的输出序列，可以得到单位脉冲响应序列。
这个过程可以通过实验或者模拟计算来完成。
单位脉冲响应在信号处理中有着广泛的应用。
首先，单位脉冲响应可以用来描述系统的频率响应特性。
通过计算单位脉冲响应，可以了解系统对于不同频率的信号的增益和相位变化。
这对于滤波器设计、系统建模和信号分析都非常重要。
单位脉冲响应可以用来实现信号的卷积运算。
卷积运算是一种重要的信号处理操作，常用于信号的平滑、滤波和特征提取等领域。
通过将输入信号与单位脉冲响应进行卷积运算，可以得到系统的输出信号。
单位脉冲响应还可以用于系统的辨识和参数估计。
通过对系统的输入和输出进行观测和采样，可以利用单位脉冲响应来确定系统的传递函数或者状态空间模型，从而对系统进行建模和分析。
在实际应用中，单位脉冲响应的计算可以通过数字信号处理软件或者编程语言来实现。
例如，MATLAB可以通过调用相关函数来计算单位脉冲响应，并进行信号处理和系统分析。
脉冲响应和单位脉冲响应
脉冲响应和单位脉冲响应脉冲响应和单位脉冲响应是信号处理中常涉及到的两个概念，对于理解系统的特性和数字信号的处理有着至关重要的作用。
一、脉冲响应脉冲响应是指系统对于单位脉冲信号的响应，也就是单位脉冲信号通过系统后得到的输出信号。
该概念常用于分析线性、时不变（LTI）系统的特性，也是系统函数中的一个重要指标。
1.1 LTI系统在讨论脉冲响应之前，需要先了解LTI系统的基本概念。
LTI系统即线性、时不变系统，指的是系统的输出与系统的激励信号之间满足线性性和时不变性的关系。
在某个时刻，输入信号经过LTI系统后得到的输出信号是由输入信号过去某段时间的加权和决定的，其权值决定于系统的特性，即系统的脉冲响应。
1.2 脉冲响应的计算方法脉冲响应的计算方法有多种，一般采用脉冲响应函数或时域频率相应函数进行计算，其中脉冲响应函数是指系统对于单位脉冲信号的响应，通常表示为h(t)。
该函数的计算公式为：h(t)=y(t) / δ(t)其中y(t)为系统对于输入为δ(t)的响应，δ(t)表示单位脉冲信号，为一个高度为1，宽度为无限小的脉冲。
1.3 脉冲响应的特性脉冲响应是LTI系统的特征之一，其性质主要有以下几个方面：- 线性性：脉冲响应是线性系统的特征之一，表示为h(t)=a1h1(t)+a2h2(t)，其中a1和a2是系统的系数，h1(t)和h2(t)是两个不同的脉冲响应函数。
- 时不变性：脉冲响应是时不变系统的特征之一，意味着随着时间的变化，脉冲响应函数始终不变。
- 因果性：脉冲响应具有因果性，即为t<0时脉冲响应为0，t>0时脉冲响应为非0值。
- 稳定性：脉冲响应具有稳定性，即系统对于有界、稳定输入信号的响应也是有界、稳定的。
二、单位脉冲响应单位脉冲响应是指系统对于以1为幅度、以δ(t)为脉冲宽度的信号进行响应，也就是对于单位脉冲信号的归一化响应。
与脉冲响应相似，单位脉冲响应同样是用来描述系统特性的指标，但单位脉冲响应更加直观、易于分析。
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
5
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所 (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
由(1)得：h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1)
迭代得初始值：
h(0) 4h(1) 3h(2) 3 3 h(1) 4h(0) 3h(1) 1 11
k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 0 (2)
由于单位脉冲序列k仅在k0处等于1而在k0时为零因而此时单位脉冲响应hk与系统的零输入响应的函数形式相同
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
单位脉冲响应是一个有限长序列
数字滤波器
数字滤波器概述：
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性 系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质 是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输 出的数字序列。 数字滤波器的数学描述：
差分方程 系统函数
数字滤波器
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系统
③ 比较①、③得：
设计任务是求h(i)。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的特性 1）线性相位特性 线性相位条件：
即如果单位脉冲响应h(n)为实数，且具有偶对称或奇对称性， 则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。 证明： 1. 当h(n)=h(N-1-n)时，可实现线性相位。 2. 当h(n)=-h(N-1-n)时，可实现线性相位。
2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR
3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻
设计步骤：
1) 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性 能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。
数字滤波器
传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 以使滤波器满足给定的性能要求。
设计方法一般有两种： 1. 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器
先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指 标 的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得 很成熟，已经产生了许多高效率的设计方法。很多常用的 模拟滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数 已表格化，设计起来方便、准确，因此可将这些理论继承 下来，作为设计数字滤波器的工具。
数字滤波器
也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍， 如IIR滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用逐渐增多。
脉冲响应原理
脉冲响应原理脉冲响应原理是信号处理中非常重要的概念，它描述了系统对输入信号的响应情况。
在本篇文章中，我将对脉冲响应原理进行详细解释，并提供相关参考内容，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 脉冲响应原理的定义脉冲响应原理是指在时域上，系统的输出等于输入信号与系统的单位脉冲响应的卷积运算。
单位脉冲响应是指当输入信号为单位脉冲函数时，系统的响应函数。
2. 卷积运算的定义在信号处理中，卷积运算是一种常见的操作，它描述了两个信号之间的线性关系。
卷积运算可以通过积分或离散求和来表示。
在脉冲响应原理中，卷积运算是用来描述输入信号和单位脉冲响应之间的关系。
3. 脉冲响应的性质脉冲响应具有许多重要的性质，包括线性性、时移性、频移性和积分性等。
这些性质使得脉冲响应原理具有广泛的应用。
例如，线性性质使得可以将复杂的输入信号分解为若干个简单的单位脉冲函数的叠加；时移性质使得系统的输出可以根据需要在时域上平移；频移性质使得系统的输出可以根据需要在频域上移动；积分性质使得可以对输入信号进行积分运算等。
4. 应用场景脉冲响应原理在很多领域中都有重要的应用。
在音频处理中，可以利用脉冲响应原理对声音进行降噪、去混响等处理；在图像处理中，可以利用脉冲响应原理对图像进行滤波、增强等操作；在通信系统中，脉冲响应原理可以用于传输信道的建模和等化等。
5. 相关参考内容- 《信号与系统》（作者：Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab）：这是一本非常经典的信号与系统教材，介绍了脉冲响应原理及其在信号处理中的应用。
- 《数字信号处理》（作者：John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis）：这本书对脉冲响应原理进行了深入的讲解，包括单位脉冲响应的计算、系统的特性等内容。
- 《数字滤波器设计》（作者：C. Sidney Burrus, et al.）：这本书介绍了数字滤波器的设计方法，包括利用脉冲响应原理进行滤波器设计的方法。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
➢一阶系统的单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
第三章
1t
c(t) 1 e T
R(s)
1 s2
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1T T s2 s s 1
T
1t
c(t) t T Te T
t0
第三章
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
CHANG’AN UNIVERSITY
第三章
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
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长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
稳定边界
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n ：无阻尼自然频率
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自动控制理论
临界阻尼：=1
C(s) R(s)
单位脉冲响应函数
单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数（unit impulse response function）是信号处理领域中的一个重要概念。
它用于描述线性时不变系统对单位脉冲输入信号的响应。
在本文中，我们将详细介绍单位脉冲响应函数的概念、性质和应用。
单位脉冲响应函数是指在输入信号为单位脉冲（即冲激）时，系统的输出信号。
单位脉冲是一个特殊的信号，其幅值为1，持续时间为无穷小，信号能量为有限。
由于单位脉冲可以表示任意信号的线性组合，所以通过了解系统对单位脉冲的响应，我们可以了解系统对任意输入信号的响应。
单位脉冲响应函数通常用h(t)表示，其中h(t)表示单位脉冲的响应，t表示时间。
单位脉冲响应函数是系统的特征函数，可以从系统的输入输出关系中得到。
设系统的输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，则系统可以用微分方程或差分方程的形式表示为：连续系统：y(t)=∫[h(τ)*x(t-τ)]dτ离散系统：y[n]=Σ[h[k]*x[n-k]]其中*表示卷积运算，τ和k分别表示积分和求和的变量。
1.系统的稳定性：如果单位脉冲响应函数h(t)对于所有t存在有界值M，使得，h(t)，≤M，则系统是稳定的。
稳定性是判断系统能否产生有限输出的重要性质。
2.系统的因果性：如果单位脉冲响应函数h(t)在t<0时为0，则系统是因果的。
因果性是指输出只取决于输入信号的过去状态。
3. 系统的线性性：如果输入信号x(t1)对应的输出为y(t1)，输入信号x(t2)对应的输出为y(t2)，则对于任意常数a和b，输入信号ax(t1)+bx(t2)对应的输出为ay(t1)+by(t2)。
线性性是指系统对于输入的线性组合具有相应的线性性质。
其次，单位脉冲响应函数还可以用于系统的模拟和仿真。
通过已知单位脉冲响应函数和输入信号，可以方便地计算得到系统的输出信号，从而进行系统性能的评估和优化。
此外，单位脉冲响应函数还可以用于滤波器设计。
通过选择合适的单位脉冲响应函数，可以设计出具有特定性能的滤波器，比如低通滤波器、高通滤波器等。
脉冲响应原理
脉冲响应原理脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的一个重要概念。
它描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。
本文将介绍脉冲响应的概念、脉冲响应函数的计算方法以及应用案例。
脉冲响应是指在时域上以零时刻为中心的脉冲输入信号对系统的激励响应。
在信号处理和系统控制领域，我们经常需要了解一个系统对于不同输入信号的响应情况以便进行分析和设计。
脉冲响应原理提供了一种便捷的方法来描述和计算系统的响应。
脉冲响应函数（Impulse Response Function）是一个系统对于单位脉冲函数输入信号的响应。
单位脉冲函数是一个在零时刻为中心，幅度为1的短时间信号。
当单位脉冲函数作为输入信号传递给系统时，系统的输出即为脉冲响应函数。
计算脉冲响应函数的方法有多种，其中一种常用的方法是利用系统的差分方程。
对于线性时不变系统，其差分方程可以表示为：y[n] = a0 * x[n] + a1 * x[n-1] + ... + an * x[n-N]其中y[n]为输出信号，x[n]为输入信号，a0至an为系统的系数，N为系统的阶数。
利用差分方程可以推导出脉冲响应函数，其形式为：h[n] = a0 * δ[n] + a1 * δ[n-1] + ... + an * δ[n-N]其中h[n]即为所求的脉冲响应函数，δ[n]为单位脉冲函数。
脉冲响应函数在信号处理和系统控制中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用脉冲响应函数对音频信号进行均衡和滤波处理。
脉冲响应函数还可以用于系统辨识，通过对系统的输入输出信号进行分析，可以得到该系统的脉冲响应函数，从而了解系统的特性和性能。
此外，脉冲响应函数还可以用于系统的时频分析。
通过对脉冲响应函数进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数，从而分析系统在不同频率上的响应情况。
这对于设计滤波器、均衡器和系统控制器等至关重要。
总之，脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的重要概念，描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
描述系统的差分方程为
h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] [k]
当k > 0时， [k]=0，描述系统的差分方程为
h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] 0
因此，系统的单位脉冲响应具有齐次解形式
2. 单位脉冲响应的求解
h[k] C1 (1)k C2 (2)k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
✓选择初始条件基本原则是必须将[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] [ k ]
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
单位脉冲响应的定义 单位脉冲响应的求解
1. 单位脉冲响应的定义
在系统初始状态为零的条件下，以单位脉冲序列δ [k]激 励系统所产生的输出响应，称为系统的单位脉冲响应，以符 号h[k]表示。
[k]
离散时间
h[k]
LTI系统
（系统初始状态为零）
1. 单位脉冲响应的定义
若描述离散时间LTI系统的常系数线性差分方程为
n
m
aiy[k i] bj x[k j]
i0
j0
则离散时间LTI系统的单位脉冲响应h[k]应满足
n
m
aih[k i] bj [k j]
i0
j0
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
脉冲响应函数理论及其在宏观经济中的应用
汇报人：
单击输入目录标题 脉冲响应函数理论概述 脉冲响应函数在宏观经济中的应用 脉冲响应函数在宏观经济中的实证分析 脉冲响应函数在宏观经济中的政策建议
脉冲响应函数理论在宏观经济中的未来研究展望
添加章节标题
脉冲响应函数理论概述
定义与含义
脉冲响应函数：描述系统在受到 冲击后的动态响应
加强汇率政策与货 币政策的协调：确 保汇率政策与货币 政策的协调一致， 避免政策冲突
提高汇率政策的透 明度：增加汇率政 策的透明度，增强 市场信心
行业经济政策建议
利用脉冲响应函 数分析行业经济 波动
制定针对性的行 业政策，以稳定 经济增长
加强行业监管， 防止市场失灵和 垄断
鼓励创新和研发， 提高行业竞争力
理论基础与模型
脉冲响应函数模型的建立和 推导过程
脉冲响应函数理论的定义和 基本概念
脉冲响应函数模型的应用范 围和局限性
脉冲响应函数模型在宏观经 济中的应用案例分析
脉冲响应函数在宏观经济中的 应用
货币政策分析
脉冲响应函数：描 述经济系统对冲击 的反应
货币政策：中央银 行调节货币供应和 利率的政策
调查数据等
数据清洗：去除 异常值、缺失值、
重复值等
数据转换：将原 始数据转换为适 合分析的格式， 如时间序列数据、
横截面数据等
数据分析：利用 统计分析、时间 序列分析、回归 分析等方法对数 据进行分析，以 验证脉冲响应函 数在宏观经济中 的实证分析结果。
实证模型选择与构建
选择合适的脉冲响应函数模型 确定模型参数和变量 收集数据并进行预处理
深化研究：提 高预测准确性、 优化政策制定、 加强风险管理
称为单位脉冲响应共63页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
称为单位Байду номын сангаас冲响应
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
3_12单位脉冲响应表示的系统特性
2(2) k u[k ] u[k ] [1.5(3) k 1 0.5]u[k 1]
3. 单位脉冲响应与系统因果性
因果系统定义： 若系统k0时刻的输出只和k0时刻及以前的输入信号有关， 则称该系统是因果系统。
k
2 1 0 1 2
因果系统
k 0 1 2 3 4
离散时间LTI系统是因果系统的充分必要条件
h[k ] 2k {u[k ] u[k 3]}
解： 根据判断稳定性的充要条件
k
k 源自h[k ] S
h[k ] 2 k 1 2 4 7
k 0
2
满足稳定性的充要条件， 该系统是稳定系统。
求和器
差分器
h[k ] u[k ]
h[k ] [k ] [k 1] h[k ] [k 1]
单位延迟器
1. 级联系统的单位脉冲响应
x[k]
h1[k]
z[k]
h2[k]
y[k]
z[k ] x[k ] * h1[k ]
y[k ] z[k ] * h2 [k ]
y[k]
x[k]
h[k]=h1[k]+h2[k]
y[k ] x[k ] *{h1[k ] h2 [k ]}
h[k]
[例] 求图示系统的单位脉冲响应，其中h1[k] =2ku[k]， h2[k] = [k－1] ，h3[k] = 3ku[k]， h4[k] = u[k]。
h1[k] x[k] + h2[k] h3[k] h4[k] y[k]
y[k ] x[k ] *{h1[k ] * h2 [k ]}
x[k]
h[k]=h1[k]*h2[k]
单位脉冲响应模型.ppt
由齊次響應求單位脈衝響應
欲解
dny dt n
a1
d n1 y dt n1
an
yt
t ,
y0 0
相當於解
d nht
dt n
a1
d n1ht
dt n1
an ht
0,
Dn1h0 0
其他初始條件為零
例題 3
由齊次響應求單位脈衝響應
欲解 相當於解
d 2 y 3 dy 2 yt xt
dt 2 dt
6
1 2
n
8
1 n
3
un
2
hn
6
1 2
n
8
1 n
3
un
0
-2
-4
-6 0
2
4
6
8 10
例題 5
由齊次響應求單位脈衝響應
LTI-DE:
yn
1 6
yn
1
1 6
yn
2 xn
6 xnBiblioteka 11. 先求如下單一輸入系 統的單位脈衝響應：
yn
1 6
yn
1
1 6
yn
xn
. 其解答為
h0n
0.6
1 2
n
0.4
1 n
3
un
2. 利用重疊原理則單位脈 衝響應為
hn 2h0n 6h0n 1
時，所產生的響應稱為 產生的響應稱為單位脈
單位脈衝響應
衝響應數列
xt t yt ht xn n
yn hn
單位脈衝響應模型
若將單位脈衝響應 h(t) 將單位脈衝響應數列h[n]
做拉式變換，即可得到 做Z-變換，則得到DT系
单位脉冲函数的积分
单位脉冲函数的积分引言：在数学中，单位脉冲函数是一种特殊的函数，它在数学和工程学中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨单位脉冲函数的积分，以及它在实际应用中的意义。
一、单位脉冲函数的定义单位脉冲函数是一种特殊的函数，它在时间轴上只有一个非零值，且该值为1。
在数学中，它通常用符号δ(t)表示。
在工程学中，它也被称为Dirac脉冲或Dirac delta函数。
二、单位脉冲函数的性质单位脉冲函数具有许多重要的性质，其中最重要的是：1. δ(t)在t=0处的值为无穷大，但在其他地方的值均为0。
2. δ(t)在任意区间[a,b]上的积分为1，即∫a^b δ(t)dt=1。
3. δ(t)的导数为0，除了在t=0处的导数为无穷大。
三、单位脉冲函数的积分由于单位脉冲函数在t=0处的值为无穷大，因此它的积分并不是一个常规的积分。
然而，我们可以通过一个称为“广义函数”的概念来解决这个问题。
广义函数是一种特殊的函数，它在某些情况下可以被看作是一个普通函数的积分。
在单位脉冲函数的情况下，我们可以将其看作是一个序列的极限，即：∫f(t)δ(t)dt=lim(n→∞)∫f(t)δn(t)dt其中，δn(t)是一个近似于单位脉冲函数的函数序列，它满足以下条件：1. δn(t)在t=0处的值为无穷大，但在其他地方的值均为0。
2. δn(t)在任意区间[a,b]上的积分为1，即∫a^b δn(t)dt=1。
3. δn(t)的导数为0，除了在t=0处的导数为无穷大。
通过这种方式，我们可以将单位脉冲函数的积分转化为一个普通函数的积分，从而得到其积分值。
四、单位脉冲函数的应用单位脉冲函数在实际应用中有许多重要的应用，其中最常见的是在信号处理中的卷积运算。
卷积运算是一种将两个函数合并成一个函数的运算，它在信号处理中有广泛的应用。
另外，单位脉冲函数还可以用来表示一些特殊的函数，例如矩形函数和三角函数等。
通过将这些函数与单位脉冲函数进行卷积运算，我们可以得到它们的傅里叶变换，从而更好地理解它们的性质和特点。
单位脉冲响应是一个有限长序列
数字滤波器
也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍， 如IIR滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用逐渐增多。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计 1.FIR数字滤波器的差分方程描述
① 对应的系统函数为
② 因为它是一种线性时不变系统，也可用卷积和形式 表示
FIR系统和IIR系统
1.1 FIR系统和IIR系统的定义
1.2 FIR系统和IIR系统在滤波器中的应用
FIR系统和IIR系统
FIR系统：
单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限 长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。
IIR系统：
单位脉冲响应是一个无限长序列，这种系统称为“无限 长单位脉冲响应系统”， 简写为IIR系统。
2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR
3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻
设计步骤：
1) 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性 能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。
数字滤波器
传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 以使滤波器满足给定的性能要求。
③ 比较①、③得：
设计任务是求h(i)。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的特性 1）线性相位特性 线性相位条件：
即如果单位脉冲响应h(n)为实数，且具有偶对称或奇对称性， 则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。 证明： 1. 当h(n)=h(N-1-n)时，可实现线性相位。 2. 当h(n)=-h(N-1-n)时，可实现线性相位。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的定义定义1 如果函数)(t δ称满足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或者()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)(t δ为δ一函数.. 更一般的情况下,如果函数满足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或者()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，则称为)(a t -δ函数.在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分理解为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情况下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=11=⎰dt hh. 一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:若()t f 为连续函数,则有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一般情况,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处连续.由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦构成了一个傅氏变换对.同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。
02-1 单位序列响应的概念及求解课件
请注意，这时已将 h(0) 代入，因而方程的解也
满足k=0。可解得：
C1
1 3
,
C2
2 3
于是得系统的单位序列响应为：
h(k
)
1 （1）k
2
(2)k
,
k
0
3
3
通信原理
例2：已知描述某离散时间系统的差分方程为
y(k) 5 y(k 1) 6 y(k 2) f (k) 3 f (k 1)
求该系统的单位序列响应h(k)。 解 ：该系统的单位序列响应满足：
h(k) 5h(k 1) 6h(k 2) (k) 3(k 1)
h(1) h(2) 0
把方程右边看作两个外加激励：δ(k)和3δ(k-1)。 设δ(k)单独作用时产生的响应为： h1(k)。
3(k 1) 3h1(k 1) h(k) h1(k) 3h1(k 1)
h(k ) h(k 1) 2h(k 2) (k)
h(1) h(2) 0
通信原理
单位序列响应的概念及求解
h(k ) h(k 1) 2h(k 2) (k)
h(k ) h(k 1) 2h(k 2) (k)
h(0) h(1) 2h(2) (0) 1
h(1) h(0) 2h(1) (1) 1
h1(0) C1 C2 1 h1 (1) 2C1 3C2 5
C1 2, C2 3
h1(k) 2 2k 3 3k , k 0
h(k) h (k) 3h (k 1) 5 2k 6 3k , k 0
1
1
通信原理
通信原理
单位序列响应的概念及求解
主讲人：曹红梅 通信与信息工程学院
1
1
通信原理
单位序列响应的概念及求解源自一、单位序列def 1(k ) 0
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3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所以：
h(k) [C1(1)k C2 (3)k ] (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
h(k)隐含的条件：
f(k)=δ(k) h(-1) = h(-2) = 0 (对二阶系统)
基本信号：单位脉冲序列δ(k) 基本响应：单位脉冲响应h(k)
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：
h(k) [1 4(3)k ] (k)
6
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
主要内容：
1. 单位脉冲响应的定义 2. 单位脉冲响应的求解
基本要求：
掌握单位脉冲响应的求解方法
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
1.单位脉冲响应
单位脉冲响应是由单位脉冲序列δ(k)所引起的零状 态响应，用h(k)表示。它的作用与连续系统中的冲激 响应h(t)相类似。
(1)迭代求初始值； (2)经典法求齐次解； (3)代入初始值，求系数。
3
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例1 求图示系统的单位脉冲响应。
3
f (k) x(k)
∑
D
4
x(k-1)
D
3
1
y(k)
x(k-2) ∑
解：如图设中间变量x(k)，则左边的加法器输出为：
x(k) f (k) 4x(k 1) 3x(k 2) 整理得： x(k) 4x(k 1) 3x(k 2) f (k)
由(1)得：h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1)
迭代得初始值：
h(0) 4h(1) 3h(2) 3 3 h(1) 4h(0) 3h(1) 1 11
k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) (2)