2017-2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一)+Word版含解析
广东省普通2017年1月高中学业水平考试真题卷
广东省普通2017年1月高中学业水平考试真题卷广东省普通2017年1月高中学业水平考试真题卷(时间：120分钟满分：100分)一、本大题11小题，共26分(1～10题每题2分，11题6分)阅读下面文字，完成1～3题。
(导学号56070049)要论近三十年来，最上进的物件，那非莫属。
二十世纪八十年代，是商务人士才拥有的大哥大，是身份的象征，谁能想到短短几十年，一成为人手一部或者多部的重要之物。
不离手，成为一种常态：走路看撞到电线杆上、坐车看坐过站，吃饭用拍照把掉菜里，躺着刷朋友圈砸脸上……我们不禁产生一种疑问：是拿在手上的，还是长在手上的( ) 1．下列填入文中处的文字，使用正确的一项是( )A．沃B．袄C．妖D．跃答案：D2．下列对文中加点字的字注音，正确的一项是( )A．zhun n B．zhun nC．chun n D．chun n答案：A3．下列填入文中( )处的标点，使用正确的一项是( )A．！B．？C．。
D．……答案：B4．在下列横线处依次填入的词语，最恰当的一项是( )作为世界级课题，________城市蔓延的问题一直是规划师挥之不去的痛点，无论何种设计，都不能阻止快速城市化的粗暴________，有人认为，城市对耕地的占用将使世界在20多年后不能供给全部人口粮食，而城市的无序化会使这一矛盾________。
A．规避扩张加剧B．回避扩张加速C．规避扩大加速D．回避扩大加剧答案：A5．下面语段中加点的成语，使用不恰当的一项是( )工匠精神是一个古朴的词汇，今年它首次出现在政府工作报告中，令人焕然一新。
所谓工匠精神，指的是工匠们对自己的产品精雕细琢、精益求精的精神，一个拥有工匠精神、推崇工匠精神的国家和民族，必然会少一些浮躁，多一些纯粹；少一些投机取巧，多一些脚踏实地；少一些急功近利，多一些专注持久；少一些粗制滥造，多一些优品精品。
A．焕然一新B．精益求精C．脚踏实地D．粗制滥造答案：A6．下列各句中，没有语病的一项是( )(导学号56070 050)A．为满足自己虚荣心，有的父母把孩子当成了他们人生观和价值观的工具。
2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷
2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟满分：100分)可能用到的相对原子质量：H 1 C 12N 14O 16Na 23Cl35.5Fe 56一、单项选择题Ⅰ(本大题共30小题，每小题1分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意)1．中国酒文化历史悠久。
“陈年老酿，香气宜人”，这个香味的来源之一是()A．糖B．盐C．酯D．酸解析：四个选项中只有酯才有水果香味。
答案：C2．氘(21H)可用作核聚变的核燃料，与氚(31H)互为同位素。
下列关于21H与31H的说法正确的是()A．核电荷数不同B．质子数相同C．核外电子数不同D．中子数相同解析：二者核电荷数＝质子数＝核外电子数＝1，中子数前者是2－1＝1，后者是3－1＝2。
答案：B3．H2O2与Na2O2中氧元素的化合价均为()A．－2 B．－1C．＋1 D．＋2解析：两种物质中氧元素化合价都是－1。
答案：B4．氨气遇HCl气体时，有白烟出现，其反应为NH3＋HCl===NH4Cl，该反应的反应类型是()A．分解反应B．置换反应C．化合反应D．复分解反应解析：该反应是两种反应物变成一种生成物，属于化合反应。
答案：C5．下列元素中，金属性最强的是()A．Na B．MgC．Al D．Si解析：它们是同周期元素，原子序数最小的金属性最强。
答案：A6．能使鲜花褪色的是()A．NaCl溶液B．CaCl2溶液C．新制氯水D．蔗糖溶液解析：新制氯水有强氧化性，氧化鲜花使之褪色。
答案：C7．牛奶和豆腐中含有丰富的钙，这里的“钙”应理解为() A．单质B．元素C．原子D．分子答案：B8．下列过程包含有化学变化的是()A．空气液化B．滴水穿石C．钢铁冶炼D．活字印刷解析：冶炼金属一般是将其化合物变成金属单质，有新物质生成，属于化学变化。
答案：C9．分类是学习和研究化学的一种重要方法。
下列分类合理的是()A．K2CO3和K2O都属于盐B．KOH和Na2CO3都属于碱C．H2SO4和HNO3都属于酸D．Na2O和Na2SiO3都属于氧化物解析：A中前者是酸后者是氧化物；B中前者是碱后者是盐；C 中两者都是酸；D中前者是氧化物后者是盐。
(完整版)2018年的1月广东省普通高中的学业水平考试数学试卷真的题目及答案详解解析汇报
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷(B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B 。
{}1,0,1-C 。
MD 。
N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A 。
lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,设(0)f a =，则()=f a （ ） A 。
2- B 。
1- C 。
12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2,则x =（ ) A .4 B .2 C 。
2- D .4-5、设实数a 为常数,则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是( ） A 。
1a ≤ B 。
1a > C 。
14a ≤ D 。
14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =,则下列结论正确的是( ）A .//a bB 。
(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )A 。
69和B .96和C 。
78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A 。
1B 。
2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A 。
0B 。
1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B 。
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}。
N={1,2,3}。
P={0,3}，则(M∪N)∩P=（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}2.函数y=XXX(x+1)的定义域是（）A.(−∞,+∞)B.(0,+∞)C.(−1,+∞)D.[−1,+∞)3.设i为虚数单位，则复数i−1=（）A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i4.命题甲：球的半径为1cm；命题乙：球的体积为πcm³，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线l过点A(1,2)，且与直线y=4/3x+1垂直，则直线l的方程是（）A.y=2xB.y=−2x+4C.y=x+1D.y=x−16.顶点在原点，准线为x=−2的抛物线的标准方程是（）A.y²=8xB.y²=−8xC.x²=8yD.x²=−8y7.已知三点A(−3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则AB+BC=（）A.5B.4C.13+2D.13−28.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(5,−2)，下列等式不正确的是（）A.sinα=−1/5B.sin(α+π)=C.cosα=D.tanα=−3/39.下列等式恒成立的是（）A.(x≠0)log3(x²+1)+log3(2)=log3(x²+3)B.3x(3x²+1)=(3x)²+1C.x/(x²+1)+x/(x²+4)=2x/(x²+2)D.x²/(x²+1)+4x²/(4x²+1)=5(x²+1)/(x²+1)(4x²+1)10.已知数列{an}满足a1=−x/x³=1，且an+1−an=2，其中x≤3，则{an}的前n项之和Sn=（）A.n+1B.n²C.2−1D.211.已知实数x,y,z满足y≤x，则z=2x+y的最大值为（）A.3B.5C.9D.1012.已知点A(−1,8)和B(5,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.(x+2)²+(y+5)²=32B.(x+2)+(y+5)=181.(x-2)^2 + (y-5)^2 = 322.(x-2) + (y-5) = 183.A。
[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题
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[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题234522(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)xx ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{}na 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ） A. 21n + B.2n C. 21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)32x y +++= B. 22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)32x y -+-= D.22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠)B. 22111x x +≥+ (x R ∈)C. 212x x+≤ (x R ∈) D.2560x x ++≥(x R ∈)614.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x=-,则当[0,)x ∈+∞时,()f x =（ ）A.2sin x x+ B. 2sin x x-- C. 2sin x x- D.2sin x x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是7三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC∆为等腰三角形;(2)若a =2, c=3,求sin C 的值.821.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB⊥,PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明:PA CD⊥;(2)求三棱锥P -ABC 的体积; (3) 证明:AE PCD⊥平面PBCDAE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0, ∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.96.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x 轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D【解析】r===3,sin α=,cos α=,tan α=∴A,B,C正确,D错误,tan α===-.9.D【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{a n}为公差为2的等差数列,10由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0; B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2 x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V=S△ABC·APP-ABC=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）一、选择题：本大题共15 小题 . 每小题 4 分，满分60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合M1,0,1,2 ， N x | 1 x 2 ，则M N（）A.0,1,2B.1,0,1C.MD.N2、对任意的正实数x, y，下列等式不成立的是（）A .lg y lg x lg yB .lg( x y)lg x lg yC .lg x33lg x D.lg x ln x x ln103、已知函数f (x)x31, x 0，设 f(0) a ，则 f (a)= （）2x , x0A. 2B. 1C.1D.0 24、设i是虚数单位，x 是实数，若复数x的虚部是 2，则x（）1iA.4B.2C. 2D.45、设实数a为常数，则函数 f ( x)x2x a( x R) 存在零点的充分必要条件是（）A .a 1B .a 1 C.a 11 D .a4 46、已知向量 a (1,1)， b(0,2) ，则下列结论正确的是（）A .a / /bB .(2 a b) bC . a b D.a b37、某校高一（1）班有男、女学生共50 人，其中男生20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）A .6和9B .9和6C .7和8D .8和78、如图所示， 一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形， 则该几何体的体积为（）A .1B .2C .4D .8x y 1 09、若实数 x, y 满足x y 0 ，则 z x 2 y 的最小值为（）x 0A .0B .1C .3D .2210、如图， o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A .DA DC ACB .DA DC DOC .OA OB AD DB D .AO OB BC AC11、设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，若 a3,b 2, c13，则C（）5 B . C .2 D .A .366 312、函数 f (x) 4sin x cos x ，则 f ( x) 的最大值和最小正周期分别为（）A .2和B .4和C .2和2D .4和2x2y2F 1， F 2 是椭圆的两个焦点，若 F 1F 2 4 3，则13、设点 P 是椭圆2 1(a 2) 上的一点，a 4PF 1 PF 2（）A .4B .8C .42 D .4 714、设函数 f ( x) 是定义在R上的减函数，且 f ( x) 为奇函数，若x10 ， x20 ，则下列结论不正确的是（）A .f (0) 0B .f ( x1) 0C.f ( x21) f (2) D. f ( x11) f (2) x2x115、已知数列a n的前n项和 S n2n 1 2 ，则 a12a22a n2（）A .4(2n1)2B .4(2n 11)2C.4(4n1) D. 4(4 n 12)33二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分16 分 .x2y216、双曲线 1 的离心率为.91617、若sin()2，则 tan.，且 02318、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线x y 2 0 和x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 40 相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共 2 小题 . 每小题 12 分，满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、若等差数列a n满足 a1a38 ，且 a6a1236 .（ 1）求a n的通项公式；（2）设数列b n满足 b1 2 ， b n 1a n 12a n，求数列b n的前n项和 S n.21、如图所示，在三棱锥P ABC 中， PA 平面 ABC ， PB BC，F为BC的中点，DE垂直平分 PC ，且DE分别交AC，PC 于点 D, E .（1）证明：EF / /平面ABP；（2）证明：BD AC .2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）答案解析一、选择题：本大题共 15 小题 . 每小题 4 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1、B解析：M N101，，，故选B.2、B解析：对于 B 项，令x y 1，则 lg( x y) lg 2 lg1 0，而 lg x lg y0 ，显然不成立，故选 B.3、C解析：a f (0)0311 f (a) f (1) 2 11，故选 C.24、D解析：x(1x(1i)x x i x2x 4 ，故选 D.1 i i)(1i )22215、C解析：由已知可得， 1 4a 0a，故选 C.46、B解析：对于 A 项，12-0 10 ，错误；对于 B 项，2a b (2,0) ， b (0,2) ，则 2 0+0 2 0 (2 a b) b ，正确；对于 C 项，a2, b 2 ，错误；对于 D 项，a b 1 0122，错误.故选B.7、A解析：抽样比为k153，则应抽取的男生人数为 203=6( 人 ) ，应抽取的女生人数3501010为 (509(人 ) ，故选 A.20)108、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2 ，高为 1，则体积为V2214，故选 C.9、D解析：（快速验证法）交点为(0,1),(0,0),(1,1) ，则 z x 2 y 分别为 2,0,3，所以 z的最小值为2 ，故选 D.10、 D 解析：对于 A 项， DA DC CA ，错误；对于 B 项， DA DC 2DO ，错误；对于 C 项， OAOB AD BA AD BD ，错误；对于 D 项， AO OB BC AB BC AC ，正确 . 故选 D.11、 A 解析：由余弦定理， 得 cosCa2b 2c 2( 3)222( 13)23，又 0 C2ab23 22C =5，故选 A.612、 A 解析：f (x)2sin 2xf ( x) max 2 ，最小正周期为T2，故选 A.213、 B 解析：F 1F 24 3 2c c 2 3 a2c2b2(2 3)24 16 a 4PF 1 PF 22a 2 4 8 ，故选 B.14、 D 解析：对于 A 项，f (x) 为 R 上的奇函数 f (0) 0 ，正确；对于 B 项， f ( x) 为 R 上的减函数x 1 0 f ( x 1 )f (0) 0 ，正确；x 2 0 x 211 （2当且仅当 x2 1，即 x 21时等号成立 )对于 C 项，x 22 x 2 x 2x 2f ( x 21) f (2) ，正确；x 2对于 D 项，x 1 0 x 11 ( x 11 1 x 1) 2 x 12x 1x 1f ( x 11) f ( 2)f (2) ，错误 . 故选 D.x 115 、C解析：当 n2 时， anSS2n 12 (2n2) 2 2n2n2n；当 n 1 时，nn 1a 1 S 1 222 2 适合上式 .a n2n(n N ) a n 2 (2 n )24na n2是首项为 4 ，公比为4 的等比数列a 122a n 24(1 4n )4(4 n1)，故选 C.a 21 43二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分 .16、5解析：由已知，得 a29 a 3,b216 b 4 c2a2b29 16 25 c 53c 5双曲线的离心率为 e.a317、5 解析：sin() cos2 22 ) 2 52，且 0sin1 cos1 ( 3233tansin 5 3 5 .cos3 2218、 4 解析： P2 2 4 .93 3 919、 (x4)2( y 2)22 解析：联立 x y 20 得 x 4圆心为 (4, 2)x 3 y 10 0 y 2则圆心 (4,2) 到直线 x y 4 0 4 2 4的距离为 d2 ，故圆的半径为 21212圆的标准方程为(x 4)2 ( y 2)22 .三、解答题：本大题共2 小题 .每小题 12 分，满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、解：（ 1）设等差数列a n 的公差为 d .a1a38a1a12d 8a12a6a1236a1 5d a111d36d2a n2(n1)22n数列 a n的通项公式为 a n2n .（ 2）由（ 1）知，a n 2bn 1a n12a n2(n1)22n2n2 nb n2(n1)22n 4 又b12适合上式b n2n4(n N )b n1b n2n2(2n4)2数列 b n是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列.S n2n n( n1)(2)2n n2n n23n221、解：（ 1）证明：DE 垂直平分PC E 为PC的中点又F为BC的中点EF 为BCP的中位线EF / /BP又EF平面 ABP, BP平面 ABP EF / /平面 ABP（ 2）证明：连接BEPB BC，E为PC的中点PC BEDE 垂直平分PC PC DE又BE DE E ，BE,DE平面BDE PC平面BDE又BD平面BDE PC BDPA 平面 ABC, BD平面ABC PA BD又PC PA P ，PC,PA平面PAC BD平面PAC又AC平面PAC BD AC。
2018 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试(春考)数学试卷
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应 题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必 须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上本试卷共4页，21小题，满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考要求作答的答案无效。
题卡一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答一并交回。
个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合，，，，M N x x ==−≤<-1012|12}{}{，则 M N = A.MB.NC.，，-101}{D.，，012}{ 2.对任意的实数,x y ，下列等式不成立的是A.=3lg 3lg x x B.−=lg lg lgy x yxC.=x xlg ln ln10D.+=+lg lg lg x y x y )(3.已知函数x f x x x x =−≥<⎧⎨⎪⎩⎪31,02,0,)(设0=f a )(，则f a =)(A.12B.0C.-1D.-24.设i 为虚数单位，x 是实数，若复数ix+1的虚部为2，则=x A.-4 B.-2 C.2D.45.设实数a 为常数，则函数()()R x a x x x f ∈+−=2存在零点的充分必要条件是A.41≤a B.41>a C.1≤aD.1>a6.已知向量()()2,0,1,1==b a ，则下列结论正确的是= B.3=⋅b a C.b a //D.()b b a ⊥27.某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人.用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是A.9和6B.8和7C.7和8D.6和98.如图1所示，一个空间几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为A.1B.2C.4D.89.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+−0001x y x y x 则y x z 2−=的最小值为A.-2B.23-C.-1D.0图1俯视图10.如图2所示，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是A.DO DC DA =+B.AC DC DA =−C.AC BC OB AO =++D.DB AD OB OA =+−11.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若13,2,3===c b a ，则=CA.6π B.π65C.3πD.π32 12.已知函数()x x x f cos sin 4=，则()x f 的最大值和最小正周期分别为A.2和π2B.2和πC.4和π2D.4和π13.设点P 是椭圆()214222>=+a y a x 上的一点，1F 和2F 是该椭圆的两个焦点，若3421=F F ，则=+21PF PFA.4B.8C.24D.7414.设函数()x f 是定义在R 上的减函数，且()x f 为奇函数，若0,021><x x ，则下列结论不正确的是A.()00=fB.()01>x fC.()2111f x x f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+D.()2122f x x f ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+15.已知数列{}n a 的前n 项和221−=+n n S ，则=+++22221...n a a a A.()21-n 12+B.()2124−nC.()32441-n +D.()31-44n图2D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分16.双曲线x y −=229161的离心率为 .17.若πθ−⎛⎝⎫⎭⎪=sin 223，且0<<θπ，则tan θ= . 18.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后返回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19.圆心为两直线x y +−=20和x y −++=3100的交点，且与直线x y +−=40相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20.若等差数列a n }{满足a a +=138，且a a +=61236. （1）求a n }{的通项公式；（2）设数列b n }{满足}b 1=2,b n +1=a n +1−2a n ，求{b n 的前n 项和S n .21.如图3所示，在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，=PB BC ，F 是BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交,AC PC 与点,D E .（1）证明：EF //平面ABP ； （2）证明：⊥BD AC .PC3图。
2017年1月广东一般高中学业水平考试真题卷
2017年1月广东省一般高中学业水平考试真题卷(时刻：90分钟总分值：100分)一、单项选择题Ⅰ(本大题共30小题，每题1分，共30分．在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．发觉万有引力定律的科学家是( )A．库仑B．爱因斯坦C．牛顿D．伽利略答案：C2．以下对物体运动的描述，不以地面为参考系的是( )A．大江东去B．轻舟已过万重山C．旭日东升D．飞花两岸照船红答案：D3．在以下研究中，加点标示的物体可视为质点的是( )A．研究蜻蜓翅膀．．．．的振动B．研究学生．．骑车时的坐姿C．研究运动员．．．绕单杆的旋转动作D．研究地球．．绕太阳公转的周期答案：D4．以下物理量中，均为矢量的一组是( )A．加速度、力、时刻B．加速度、力、速度C．时刻、位移、质量D．速度、位移、功率答案：B5．物体做直线运动的v-t图象如下图．以下说法正确的选项是()A．物体做匀速直线运动B．物体做自由落体运动C．物体运动的加速度大小为1 m/s2D．物体运动的加速度大小为2 m/s2解析：由题图可知物体做加速度大小为1 m/s2的加速运动．答案：C6．做匀速圆周运动的质点，在Δt时刻内，转过的圆心角为Δθ.依照所给条件可求出质点的()A．角速度大小B．线速度大小C．向心加速度大小D．向心力大小答案：A7．在同一运动进程中，关于位移和路程的表述，以下说法正确的选项是()A．路程是矢量B．位移的大小老是等于路程C．位移确实是路程D．位移的大小小于或等于路程解析：当物体做单向直线运动时，位移的大小等于路程，其他情形位移大小小于路程．答案：D8．关于加速度和其他物理量之间的关系，以下说法正确的选项是()A．加速度的方向确实是速度的方向B．加速度的方向确实是位移的方向C．加速度减小时，速度必然减小D．加速度减小时，速度有可能增大答案：D9．甲、乙两物体均做直线运动，某时刻，甲的速度为4 m/s，加速度为－4 m/s2；乙的速度为3 m/s，加速度为2 m/s2，那么现在() A．甲、乙的速度方向相反B．甲的速度转变比乙的快C．甲的加速度大小比乙的小D．甲的速度转变比乙的慢解析：甲、乙两物体的速度方向相同，A错；加速度是反映速度转变快慢的物理量，甲的加速度大，速度转变得快，B对，C、D错．答案：B10．竖直悬挂的轻质弹簧，原长为8 cm，挂上10 N的物体后，当物体静止时，长度为10 cm(弹簧始终处于弹性限度内)，那么此弹簧的劲度系数为()A．1 000 N/m B．500 N/mC．125 N/m D．100 N/m答案：B11．如下图，木箱放在传送装置的水平台阶上，在木箱随台阶向上做匀速直线运动的进程中，以下说法正确的选项是()A．木箱受到的合外力不为零B．木箱受到的支持力大于重力C．台阶对木箱没有摩擦力作用D．台阶对木箱的作使劲方向斜向上解析：木箱随台阶向上做匀速直线运动，受合力为零，即重力和支持力平稳，不受摩擦力作用，C对．答案：C12．一物体受到两个共点力的作用，力的大小别离为30 N、40 N，夹角为90°，那么合力大小为()A．35 N B．50 NC．60 N D．75 N答案：B13．如下图，重为65 N的物体在一个竖直向上拉力F＝45 N的作用下，静止在水平桌面上．现在桌面对物体的支持力大小为()A．0 B．20 NC．45 N D．65 N解析：物体受重力、拉力和支持力作用，处于平稳状态，B对．答案：B14．关于物体的惯性，以下说法正确的选项是()A．物体在静止时才具有惯性B．物体在运动时才具有惯性C．物体在受外力作历时才具有惯性D．物体处于任何状态都具有惯性答案：D15．在以下情景中，属于有效利用离心现象的是()A．汽车拐弯时减速行驶B．给砂轮的外侧安装防护罩C．游客乘坐过山车时扣紧平安带D．运动员手持链球链条的一端加速旋转后松手答案：D16．一石块从枯井口自由下落，通过2 s抵达井底，忽略空气阻力，那么井深约为()A．10 m B．20 mC．25 m D．30 m答案：B17．如下图，物体在水平恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，某时刻撤去F，那么现在物体受到的摩擦力()A．不变B．变成0C．方向改变D．大小减小答案：A18．如图所示，木箱在与水平方向成α角的拉力F作用下，沿水平地面向右移动了距离l，此进程中拉力F对木箱所做的功为()A．0 B．FlC．Fl cos αD．Fl sin α解析：由功的公式可知，C对．答案：C19．忽略空气阻力，以下物体在各自运动进程中，机械能守恒的是()A．电梯匀速下降B．木块沿粗糙斜面匀速下滑C．铅球出手后在空中运动D．重物被起重机吊起加速上升解析：电梯匀速下降，说明电梯受力平稳，并非是只有重力做功，A错；木块沿粗糙斜面匀速下滑，有摩擦力做功，B错；铅球出手后只有重力做功，机械能守恒，C对；D的重物机械能增加，D错．答案：C20．以下描述不属于经典力学范围的是()A．开普勒对行星运动规律的描述B．伽利略对落体运动规律的描述C．牛顿对物体低速运动规律的描述D．爱因斯坦对粒子接近光速运动规律的描述答案：D21．以下仪器工作时利用了静电现象的是()A．静电除尘器B．滑动变阻器C．变压器D．指南针答案：A22．关于静电场中的电场线，以下说法正确的选项是()A．电场线是一系列假想的闭合曲线B．电场线从负电荷动身，终止于正电荷C．在同一电场中电场线越密，电场强度越弱D．电场线上各点的切线方向表示该点的电场方向解析：电场线是假想的，但不闭合，A错；电场线从正电荷动身，终止于负电荷，B错；电场线越密，电场强度越强，C错．答案：D23．如下图，M，N为某电场中的两点，以下说法正确的选项是()A．该电场是匀强电场B．该电场是点电荷产生的电场C．M点的电场强度比N点的小D．M点的电场强度比N点的大答案：D24．在电路图中，用来表示电感器的字母及电路符号是()答案：C25．我国古代有“千里眼”的神话传奇，以下装置具有类似功能的是()A．雷达B．指南针C．录音机D．白炽灯答案：A26．某些大商场安装有自动门，当人靠近时它会自动打开．该装置利用的传感器是()A．红外线传感器B．气体传感器C．温度传感器D．声音传感器答案：A27．关于科学家所做的奉献，以下表述正确的选项是()A．法拉第发觉了电磁感应现象B．赫兹成立了电磁场理论C．安培发觉了电流的磁效应D．麦克斯韦验证了电磁波的存在解析：麦克斯成立了电磁场理论，奥斯特发觉了电流的磁效应，赫兹验证了电磁波的存在，B、C、D均错．答案：A28．如下图，阴极射线管水平放在蹄形磁铁的N、S两极间，射线管的阴极A接直流高压电源负极，阳极B接正极，那么管内电子束的偏转方向()A．向上B．向下C．向N极D．向S极答案：B29．以下关于磁场和磁感线的描述正确的选项是()A．两条磁感线能够相交B．磁感线是真实存在的曲线C．两条磁感线之间不存在磁场D．磁感线是为了形象地描述磁场而引入的假想曲线解析：两条磁感线不相交，A错；磁感线是假想曲线，B错，D 对；磁感线存在的空间有磁场，C错．答案：D30．以下能源中，属于不污染环境且比较经济的能源是()A．煤B．风能C．石油D．天然气答案：B二、单项选择题Ⅱ(本大题共20小题，每题2分，共40分．在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求)31．以下图象能反映物体做匀加速直线运动的是()答案：D32．甲、乙两物体同时从同一地址沿同一方向做直线运动，它们运动的v-t图象如下图．以下说法正确的选项是()A．0～4 s甲比乙运动慢B．0～4 s甲比乙运动快C．第2 s末甲、乙速度相同D．第4 s末甲、乙速度相同解析：前2 s甲比乙运动快，后2 s甲比乙运动慢，A、B错；第2 s末甲、乙速度相同，C对，D错．答案：C33．乘客站在电梯里，当电梯以1 m/s2的加速度加速下降时，乘客对电梯的压力()A．等于零B．小于乘客受到的重力C．等于乘客受到的重力D．大于乘客受到的重力解析：电梯加速下降，乘客失重，B对．答案：B34．如下图，质量为m的物体静止在倾角为θ的固定斜面上．以下说法正确的选项是()A．斜面对物体的支持力大小等于mg cos θB．斜面对物体的支持力大小等于mg sin θC．斜面对物体的支持力方向竖直向下D．斜面对物体的支持力方向竖直向上解析：斜面对物体的支持力方向垂直斜面向上，大小为mg cos θ，A对，其余均错．答案：A35．如下图，在水平压力作用下，物体紧靠竖直墙壁维持静止．以下说法正确的选项是()A．物体受到的重力与静摩擦力大小相等B．水平压力F与墙面对物体的弹力大小不相等C．物体受到的重力与静摩擦力是作使劲与反作使劲D．水平压力F与墙面对物体的弹力是作使劲与反作使劲解析：物体受到的重力与静摩擦力大小相等，A对；水平压力F 与墙面对物体的弹力大小相等，B错；水平压力F与墙面对物体的弹力及重力与静摩擦力都是一对平稳力，C、D错．答案：A36．国际单位制由大体单位、辅助单位和导出单位组成．以下物理量单位属于大体单位的是()A．N B．mC．m/s D．m/s2答案：B37．如下图，质量为m的物块随水平转盘绕竖直固定轴做匀速圆周运动，角速度为ω，物块到轴的距离为l，那么物块受到的摩擦力大小为()A．ml2ω2B．mlωC．ml2ωD．mlω2解析：由向心力公式可知，D对．答案：D38．两球都可视为质点，它们之间的万有引力大小为F，假设两球间的距离增加到原先的3倍，那么它们之间的万有引力大小为()F FF F答案：C39．如下图，人造卫星M、N别离绕地球做匀速圆周运动，关于它们的线速度v，角速度ω，向心加速度a和周期T的大小比较，关系正确的选项是()A．v M<v N B．a M<a NC．ωM>ωN D．T M>T N答案：C40．如下图，两个高度相同的固定斜面，倾角为30°、45°，一木块别离从两斜面的顶端下滑至底端，重力对木块所做的功为W1、W2，以下关系正确的选项是()A．W1＝W2B．W1＝2W2C．W1＝3W2D．W1＝4W2解析：重力做功与途径无关，只由初末位置的高度差决定，A对．答案：A41．起重机用4 s的时刻把重为2×104 N的货物匀速提升10 m，那么该起重机对货物做功的功率为()A．2×103 W B．8×102 WC．5×104 W D．8×104 W解析：货物匀速上升，由受力分析可知：拉力F＝G＝2×104 N，货物的速度v＝m/s，P＝F v＝2×104 N×m/s＝5×104 W，C对．答案：C42．如图是在“研究匀变速直线运动”的实验顶用打点计时器打出的纸带，纸带上的点记录了物体运动的信息．在纸带上选择3个计数点0、一、2，相邻两点间的时刻距离均为s，距离如下图，那么打下计数点1时，物体的瞬时速度大小为()A．m/s B．m/sC．m/s D．m/s答案：B43．用如下图的装置研究静摩擦力，慢慢增大弹簧测力计的水平拉力，当拉力小于10 N时，物体维持静止；等于10 N时，物体恰好开始运动．以下说法正确的选项是()A．物体与桌面间的最大静摩擦力大小为10 NB．物体与桌面间的静摩擦力大小和水平拉力大小无关C．当弹簧测力计的示数为15 N时，物体仍受到静摩擦力作用D．当弹簧测力计的示数为5 N时，物体受到的静摩擦力大小为10 N解析：由最大静摩擦力的概念知，A对；当物体没拉动时，静摩擦力大小等于水平拉力大小，B、D错；当弹簧测力计的示数为15 N 时，物体被拉动，受滑动摩擦力，C错．答案：A44．在“验证牛顿运动定律”的实验中，平稳摩擦力后，维持小车质量不变，改变小桶中沙的质量，并测出小桶和沙的总质量，算出小车受到的合外力大小F，同时求出小车的加速度大小a，按正确方式多次重复以上步骤(小桶和沙的总质量远小于小车的质量)．以下图象能正确反映aF关系的是()答案：A45．如下图，绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质带电小球N，当带同种电荷的金属球M固定在N近旁的绝缘支架上时，悬挂N的细线与竖直方向的夹角为θ，那么以下说法正确的选项是()A ．仅将M 的电荷量增大，θ不变B ．仅将M 的电荷量增大，θ变小C ．仅将支架沿水平地面移近N ，θ变小D ．仅将支架沿水平地面移近N ，θ变大解析：由库仑定律知：F ＝k q M q N r2；对N 球受力分析知，F ＝mg tan θ；可见M 的电荷量增大，θ变大，A 、B 错；将支架沿水平地面移近N ，θ变大，C 错，D 对．答案：D46．两个相同的带电金属小球，带电量别离为＋3q 和＋7q ，小球半径远小于两球心的距离r .将它们接触后放回原处，那么现在的静电力大小为( )A ．k 10q 2r2 B ．k 16q 2r 2 C ．k 21q 2r 2 D ．k 25q 2r2 解析：两相同球接触后电量迅速转移，分开时各自带电量＋5q ，由库仑定律知，D 对．答案：D47．如下图，一根通电直导线放置在水平向右的匀强磁场B 中，电流方向垂直纸面向里，那么直导线受到的安培力方向是( )A ．垂直纸面向里B ．垂直纸面向外C．竖直向下D．竖直向上解析：由左手定那么知，C对．答案：C48．如下图，小磁针放在水平通电直导线的正下方，当小磁针静止时，N极的指向是()A．水平向右B．水平向左C．垂直纸面向里D．垂直纸面向外解析：由安培定那么知，直导线的下方磁场方向是垂直纸面向外，D对．答案：D49．如下图，在范围足够大的匀强磁场B中有一矩形线圈MNPQ，线圈平面平行于磁场方向．做以下运动时，通过线圈的磁通量会发生转变的是()A．线圈绕MQ边转动B．线圈绕MN边转动C．线圈向上平移D．线圈向右平移解析：线圈绕MQ边转动，磁通量始终为零，A错；线圈绕MN 边转动，磁通量不断转变，B对；线圈向上平移及线圈向右平移，磁通量始终为零，C、D错．答案：B50．在如下图的电路中，当变压器的原线圈接入电压u时，副线圈中小灯泡开始发光，那么电压u随时刻t转变的关系图象不可能的是()答案：B三、多项选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，至少有2个选项是符合题目要求的，全数选对得3分，少选且正确得1分，未选、错选不得分)51．在平直轨道上匀速行驶的列车中，乘客在某高度处无初速度释放一小球．不计空气阻力，以下说法正确的有() A．该乘客观看到小球做匀速直线运动B．该乘客观看到小球做自由落体运动C．站在地面的人观看到小球做曲线运动D．站在地面的人观看到小球做匀速直线运动解析：小球离手前与车有相同的水平速度，故小球做平抛运动，但相对乘客做自由落体运动，B、C对．答案：BC52．以下图是自行车部份结构示用意，M是大齿轮边缘上一点，N是小齿轮边缘上一点，P是车轮上一点．当自行车正常行驶时，以下说法正确的有()A．M、N两点角速度大小相等B．M、N两点线速度大小相等C．N、P两点角速度大小相等D．N、P两点线速度大小相等解析：大小轮是靠链条传动，M、N两点线速度大小相等，A错，B对；N、P两点是共轴转动，角速度大小相等，C对，D错．答案：BC53．如下图，实线为某质点平抛运动轨迹的一部份，s1表示M、N两点间水平距离，s2表示N、P两点间水平距离，且s1＝s2.以下说法正确的有()A．质点在N、P两点的水平分速度一样B．质点在M、N两点的竖直分速度一样C．质点从M点运动到N点的时刻等于从N点到P点的时刻D．质点从M点运动到N点的时刻大于从N点到P点的时刻解析：做平抛运动的物体水平方向的速度始终相等，A对；竖直方向速度不断增大，B错；水平方向匀速运动，且s1＝s2，故有质点从M点运动到N点的时刻等于从N点到P点的时刻，C对，D错．答案：AC54．如下图，一木块从固定的粗糙斜面顶端沿斜面加速下滑，在下滑进程中，以下说法正确的有()A．重力对木块做正功B．重力对木块做负功C．摩擦力对木块做正功D．摩擦力对木块做负功解析：因为重力的方向与位移的方向的夹角小于90°，重力对木块做正功，A对，B错；物体受滑动摩擦力的方向沿斜面向上，摩擦力方向与位移的方向的夹角大于90°，摩擦力对木块做负功，C 错，D对．答案：AD55．将两个内壁滑腻、半径不同的半球形碗，固定在如下图的水平台阶上，碗口在同一水平面上，取此水平面为参考平面．将两个相同的小球，别离从两个碗的边缘处无初速释放，当它们运动到各自的最低点时()A．两小球的动能相等B．两小球的动能不相等C．两小球的重力势能相等D．两小球的机械能相等解析：按动能定理，因重力做功不等，最低点时动能不等，A错，B对；因最低点的高度不同，两小球的重力势能也不相等，C错；但两球的机械能始终守恒，D对．答案：BD56．以下关于电性能量转换的描述正确的有()A．发电性能够把机械能转换成电能B．电动性能够把电能转换成机械能C．电动性能够把机械能转换成电能D．电机可使电能和其他形式的能彼此转换解析：发电性能够把机械能转换成电能，A对；电动性能够把电能转换成机械能，B对，C错；电机可使电能和其他形式的能彼此转换，D对．答案：ABD57．在以下匀强磁场B中，带电粒子受到的洛伦兹力为F，则F 的方向正确的有()解析：依照左手定那么，A对，C对；B中带电粒子所受洛伦兹力垂直纸面向里，B错；D中带电粒子所受洛伦兹力垂直纸面向外，D错．答案：AC58．以下电器在利用进程中，利用了电磁波的有()A．电熨斗B．风扇C．电视机D．收音机答案：CD59．在家庭平安用电中，以下做法不正确的有()A．袒露的电线缠绕在木板上B．洗衣机的金属外壳接地线C．不同材质的电线相互缠绕在一路D．同一个插座上插满了各类大功率电器答案：ACD60．以下图是一种简易风速仪的示用意．当水平方向有风吹来时，风速仪的外接电流计就有示数．以下说法正确的有()A．该风速仪工作时应用了电磁感应原理B．该风速仪工作时应用了电流的磁效应C．风速越大，电流计的示数越大D．风速越大，电流计的示数越小解析：当风速大时，轴转动得越快，线圈中的磁通量的转变越快，电流越大，A、C对．答案：AC。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒= 22224164a c b a ∴=+=+=⇒= 122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、16、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、17、53 解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒=∴双曲线的离心率为53c e a ==. 18解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 19、49 解析：224339P ⨯==⨯. 20、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列. 22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E ∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C ∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
1 2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）2 A .69和 B .96和 C .78和 D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ） A .1 B .2 C .4 D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,a b c ===C =（ ）A .56πB .6πC .23πD .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =则12PF PF +=（ ）A .4B .8 C.D.3 14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，4 且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、 B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为5 3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<<5=6C π∴，故选A.12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A.13、B解析：122FF c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)6 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=--- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255ca b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2 解析：2sin()cos 23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==7 ∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂平面 PC BD ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂平面 BD AC ∴⊥8。
【数学】2017年广东省普通高中学业水平考试真题
机密★启用前试卷类型：A2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷共4页，21小题，满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}4,2,0{=M ，}3,2,1{=N ，}3,0{=P ，则=P N M )(（）A ．}4,3,2,1,0{B ．}3,0{C ．}4,0{D ．}0{2．函数)1lg(+=x y 的定义域是（）A ．},{+∞-∞B ．),0(+∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞-3．设i 为虚数单位，则复数=-i i 1（）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i--14．命题甲：球体的半径是1cm ，命题乙：球体的体积是π34cm 2，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点A(1，2)，且与直线y ＝21x ＋1垂直，则直线l 的方程是（）A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝2321+xD ．y ＝2521+x 6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是（）A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y7．已知三点A(－3，3),B(0,1)，C(1，0)，则|BC AB +|等于（）A ．5B ．4 C.213+ D.213-8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P )2,5(-，则下列等式不正确的是（）A ．32sin -=αB ．32)sin(=+παC ．35cos =αD ．23tan -=α9．下列等式恒成立的是（）A ．3231-=X X B ．23)3(2X X =C ．)3(log 2log )1(log 23323+=++x x D ．x x -=31log 210．已知数列}{n a 满足11=a ，且21=-+n n a a ，则的前n 项和n S =（）A ．12+nB ．2nC ．12-nD ．12-n 11．已知实数z y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤23y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A ．3B ．5C ．9D ．1012．已知点A (-1,8)和B 点（5,2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（）A ．23)5()2(22=+++y xB ．18)5()2(22=+++y xC ．23)5()2(22=-+-y xD ．18)5()2(22=-+-y x 13．下列不等式一定成立的是（）A ．)0(21≠≥+x x x B ．)(11122R x x x ∈≥++C ．)(212R x x x ∈≤+D ．)(0652R x x x ∈≥++14．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当]0,(-∞∈x 时，x x x f sin )(2-=，则当),0[+∞∈x 时，)(x f =（）A ．x x sin 2+B ．x x sin 2--C ．x x sin 2-D ．xx sin 2+-15．已知样本54321,,,,x x x x x 的平均数为4，方差为3，则6,6,6,6,654321+++++x x x x x 的平均数和方差分别为（）A ．4和3B ．4和9C ．10和3D ．10和9二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）16．已知0>x ，且15,,35x 成等比数列，则x =________17．函数x x x x x f cos )1sin()1cos(sin )(+++=的最小正周期是_______18．从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是_______19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为21，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若4||||11=+PF PF ，则此椭圆的标准方程是_______三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）20．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，已知Bb A a cos cos =（1）证明：△ABC 为等腰三角形；（2）若2=a ，3=c ，求sin C 的值.21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，P A =AB =BC =2，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ⊥CD ；（2）求三棱锥P -ABC 的体积；（3）证明：AE ⊥平面PCD .。
20181月广东普通高中学业水平考试数学试题真题及答案及解析
20、解：（ 1）设等差数列 an 的公差为 d .
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a1 a3 8 a6 a12 36
a1 a1 2d 8 a1 5d a1 11d 36
a1 2 d2
an 2 (n 1) 2 2n
数列 an 的通项公式为 an 2 n .
（ 2）由（ 1）知， an 2 n bn 1 an 1 2an 2(n 1) 2 2n 2n 2
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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷（ B 卷）答案解析
一、选择题：本大题共 15 小题 . 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 .
1、B 解析： M N
1，0，1 ，故选 B.
2、B 解析：对于 B 项，令 x y 1 ，则 lg( x y) lg 2 lg1 0，而 lg x lg y 0 ，显然不成
）
A. 2
B. 1
C. 1 2
D.0
4、设 i 是虚数单位， x 是实数，若复数 x 的虚部是 2，则 x （
）
1i
A. 4
B. 2
C. 2
D. 4
5、设实数 a 为常数，则函数 f ( x) x2 x a( x R) 存在零点的充分必要条件是（
）
A. a 1
B.a 1
C. a 1 4
1 D. a
4
9(人) ，故选 A.
10
3 20 =6( 人 ) ，应抽取的女生人数为
10
8、C 解析：由三视图可知， 该几何体为长方体， 长为 2，宽为 2，高为 1，则体积为 V 2 2 1 4 ，
月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =I （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x -= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =r ，(0,2)b =r，则下列结论正确的是（ ）A .//a b r rB .(2)a b b -⊥r r rC .a b =r rD .3a b =r r g7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=u u u r u u u r u u u rB .DA DC DO +=u u u r u u u r u u u rC .OA OB AD DB -+=u u u r u u u r u u u r u u u r D .AO OB BC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r11、设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8C .42D .4714、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=L （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-I ，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=-Q 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-Q242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=r r ，(0,2)b =r ，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥r r r，正确；对于C 项，2,2a b ==r r，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=r rg，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=u u u r u u u r u u u r，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=u u u r u u u r u u u r，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-===，又0C π<<Q 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =Q max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=Q22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x Q 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x Q 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >Q 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x <Q111111()2x x x x ∴+=--+≤-=-- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-L ，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17解析：2sin()cos 23πθθ-==Q ，且0θπ<<sin 3θ∴===sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =Q 适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE Q 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F Q 为BC 的中点 EF ∴为BCP V 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂Q 平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =Q ，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE Q 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =Q I ，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂Q 平面 PC BD ∴⊥又PC PA P =Q I ，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂Q 平面 BD AC ∴⊥感恩和爱是亲姐妹。
广东省2017-2018学年1月份学业水平考试数学模拟试题(1) Word版含答案
广东省2017-2018学年学业水平考试数学模拟试题（1）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}1,2,3M =，{}1N =，则下列关系正确的是（ ）A ．N ∈MB ．N ∉MC ．N =MD ．N ⊆M2、有一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是一个（ ）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．圆柱 3、如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图，则该运动员得分的中位数是（ ）A ．2 B ．3 C ．22 D ．23 4、函数1y x =+的零点是（ ）A ．0B ．1-C ．()0,0D ．()1,0-5、已知一个算法，其流程图如图，则输出的结果是（ ）A ．10B ．11C ．8D ．96、在C ∆AB 中，M 是C B 的中点，则C AB +A =（ ）A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA 7、如图，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P ，则点P 在圆内的概率为（ ）A ．44π-B ．4πC ．4π D ．π8、下列函数中，以2π为最小正周期的是（ ） A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．sin 2y x = D ．sin 4y x =9、在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若135A =，30B =，a =b =（ ）A ．1BCD ．210、直线210x y -+=与直线()121y x -=+的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合11、已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a =（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 12、不等式()30x x -<的解集是（ ）A ．{}0x x <B ．{}3x x <C ．{}03x x <<D ．{}03x x x <>或 13、若正数a 、b 满足8ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A ．(]0,16B ．[)4,16C ．[]4,16D ．[)16,+∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）14、:p 0R x ∃∈，200220x x --=，则p 的否定是 ．15、已知函数()8,0,0x f x x a x <⎧=⎨+≥⎩，若()310f =，则a = ．16、设双曲线C :22213x y a -=（0a >）的一个顶点坐标为()2,0，则双曲线C 的方程是 ．17、若实数x ，y 满足约束条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．18、函数22log x y x =+在区间[]1,4上的最大值是 ．三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19、（本小题满分9分）已知3sin 5α=，02πα<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 20、（本小题满分9分）如图，正方体1111CD C D AB -A B 中，E 为1DD 的中点．()1证明：1D C B ⊥A ； ()2证明：1D //B 平面C A E ．21、（本小题满分10分）已知圆C :22420x y x y a ++-+=，直线:l 30x y --=，点O 为坐标原点．()1求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；()2若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求实数a 的值．广东省2016年1月份学业水平考试数学模拟试题（1）参考答案一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D2、B3、D4、B5、A6、C7、C8、D9、A 10、A 11、B 12、C 13、D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）14、R x ∀∈，2220x x --≠ 15、7 16、22143x y -= 17、5 18、18 三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19、解：3sin5α=，02πα<<∴4sin 5α===∴34sin sin cos cos sin 444525210πππααα⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 20、证明：()1连结D B 四边形CD AB 是正方形∴C D A ⊥B1DD ⊥平面CD AB ，C A ⊂平面CD AB∴1C DD A ⊥1D DD D B =，D B ⊂平面1DD B ，1DD ⊂平面1DD B∴C A ⊥平面1DD B1D B ⊂平面1DD B∴1D C B ⊥A()2设CD A B =O ，连结OE四边形CD AB 是正方形 ∴O 是D B 的中点E 为1DD 的中点∴1//D OE BOE ⊂平面C A E ，1D B ⊄平面C A E∴1D //B 平面C A E21、解：()1圆C :22420x y x y a ++-+=化为()()22215x y a ++-=-∴圆C 的圆心是()2,1-直线:l 30x y --=的斜率是1l k = 直线l ⊥直线m∴1l m k k ⋅=-即11m lk k =-=- ∴过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程是()12y x -=-+即10x y ++=()2设()11,x y M ，()22,x y N ，则()11,x y OM =，()22,x y ON =由2242030x y x y a x y ⎧++-+=⎨--=⎩，消去y 得：()()2234230x x x x a +-+--+= 即224150x x a -++=直线l 与圆C 相交于M 、N 两点∴()()2442150a ∆=--⨯⨯+>解得：13a <-由韦达定理得：122x x +=，12152ax x +=OM ⊥ON∴12120x x y y +=()()()121212123339y y x x x x x x =--=-++∴()12122390x x x x -++= ∴15690a +-+=解得：18a =-故实数a 的值是18-。
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2017年1月广东省普通高中学业水平测试真题卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P 等于()A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0}分析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.答案：B2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．－1，＋∞)分析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.答案：C3．设i为虚数单位，则复数1－ii等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i分析：1－ii＝（1－i）·ii·i＝i－i2i2＝i＋1－1＝－1－i，故选D.答案：D4．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：充分性：若r ＝1 cm ，由V ＝43πr 3可得体积为43π cm 3，同样利用此公式可证必要性也成立．答案：C5．已知直线l 过点A (1，2)，且和直线y ＝12x ＋1垂直，则直线l的方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x ＋52分析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k 1k 2＝－1)，所以直线l 的斜率k ＝－2，由点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可得，y －2＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x ＋4，故选B.答案：B6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y分析：因为准线方程为x ＝－2，所以焦点在x 轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，由y 2＝2px 得y 2＝8x .答案：A7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB →＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 2分析：因为AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)，所以AB →＋BC →＝(4，－3)，所以|AB →＋BC →|＝42＋（－3）2＝5，故选A. 答案：A8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53 D ．tan α＝－52分析：依题意得，r ＝x 2＋y 2＝5＋4＝3，sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx，所以sin α＝－23，cos α＝53，tan α＝－25＝－255，所以A ，B ，C 正确，D 错误．答案：D9．下列等式恒成立的是( ) A.13x＝x －23(x ≠0)B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3) D ．log 313x ＝－x分析：13x ＝x －13(x ≠0)，故A 错；(3x )2＝32x ，故B 错；log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 32(x 2＋1)，故C 错． 答案：D10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －1分析：数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2·2＝n 2，故选B.答案：B11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为()A ．3B ．5C ．9D ．10分析：如图，画出可行域，当y ＝－2x ＋z 移动到A 点时，直线和y 轴的截距z 取得最大值，因为A (3，3)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为9.答案：C12．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18分析：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r ＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －5)2＝18.答案：D13．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋2x ≥2(x ≠0) B ．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R)C ．x 2＋1≤2x (x ∈R)D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R)分析：A 选项中，当x ＜0时，显然不成立；C 选项中，当x ＝－1时，显然不成立；D 选项中，当x ∈(－3，－2)时，x 2＋5x ＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2（x2＋1）·1x2＋1－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．答案：B14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sin x，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝()A．x2＋sin x B．－x2－sin x C．x2－sin x D．－x2＋sin x分析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sin x，故选A.答案：A15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为() A．4和3 B．4和9 C．10和3 D．10和9分析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝x－＋6＝10，方差不变．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x＞0，且53，x，15成等比数列，则x＝____________．分析：因为513，x，15成等比数列，所以x2＝53×15＝25，又x＞0，所以x＝5.答案：517．函数f(x)＝sin x cos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是____________．分析：f(x)＝sin x cos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x＝sin x＋(x＋1)]＝sin(2x ＋1)，所以最小正周期T＝2π2＝π.答案：π18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．分析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14.答案：1 419．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点，若|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的标准方程是________．分析：根据焦点在x轴上可以设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，离心率e＝ca＝12，所以a＝2，c＝1，b＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝1三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos B.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)若a＝2，c＝3，求sin C的值．(1)证明：因为acos A＝bcos B，所以a cos B＝b cos A，由正弦定理知sin A cos B＝sin B cos A，所以tan A＝tan B，又A，B∈(0，π)，所以A＝B，所以△ABC为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A＝B，所以a＝b＝2，根据余弦定理有：c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以9＝4＋4－8cos C，解得cos C＝－18，因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以sin C＝1－cos2C＝638.21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E为PC的中点．(1) 证明：AP⊥CD；(2) 求三棱锥PABC的体积；(3) 证明：AE ⊥平面PCD .(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以AP ⊥CD .(2)解：由(1)可知AP ⊥平面ABC ，所以V P －ABC ＝13S △ABC ·AP ，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×2×sin 60°＝3，所以V P －ABC ＝13×3×2＝233.(3)证明：因为CD ⊥AP ，CD ⊥AC ，AP ⊂平面APC ，AC ⊂平面APC ，AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面APC ， 又AE ⊂平面APC ， 所以CD ⊥AE ，由AB ＝BC ＝2且∠ABC ＝60°得△ABC 为等边三角形，且AC ＝2， 又因为AP ＝2，且E 为PC 的中点， 所以AE ⊥PC ，又AE ⊥CD ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .。