“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．

一、有直角、有中点，连线出中线，用性质

例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．

猜想：MN 垂直平分DE.

证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=2

1

BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.

评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．

二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900

，AD ∥BC ，∠CBE=1

2

∠ABE ， 求证：DE=2AB

分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等，

取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=1

2

DE ，可证得△A FD ，

△ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．

证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=1

2

DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=

1

2

∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ． 评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．

三、有中点、无直角，造直角，用性质

例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点， ∠ADC+∠BCD=2700

，

求证：MN=

1

2

（AB-CD ）． 证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700

，

∴∠APB=900

，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， ∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中线，∴PN=CN=DN=

12CD ，PM=BM=DM=1

2

AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合， ∴MN=PM-PN=

1

2

（AB-CD ）． 评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700

”，这样问题就易以解决了

图1

B

A D

C

E F

图2

B

A C

D P N K 图3

四、逆用性质解题

例4．如图4，延长矩形ABCD的边CB至E，使CE=CA，P是AE的中点．

求证：BP⊥DP．

证明：如图3，连结BD交AC于点O，连结PO，

∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=OB=OD，

∵PA=PE，∴PO=1

2

EC，∵EC=AC，∴PO=

1

2

BD，

即OP=OB=OD，∴BP⊥DP．

评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证BD边的中线等于BD的一半．请同学们试一试吧！

1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E，

求证：CD=1

2 BE．

2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点，求证：AB=2DM．

1．提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由1

2

BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证∠C=∠DFC．

2．提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可．

直角三角形斜边上中线性质的应用

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质

1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=︒

90，D为

BC的中点，则

BC

2

1

AD=

。

2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，

所以

BC

2

1

DC

BD=

=

，

所以AD=BD=DC=

BC

2

1

，

所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠3=2∠4，∠ADC=2∠1=2∠2。

A D

E

P

图4

O

B

A

D

图5

A

C

B D M·

图6