平移法

2 2 2 2 2
2
5Leabharlann 535类型二：立体几何中的“平移法” 例： （2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值为（ ） A． 3 B． 15 C． 10 D． 3
2 5 5 3
解析： 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1= 2 ，BD= 22 12 2 2 1 cos60 3 ， C1D= 5 ， ∴BC12 +BD2= C1D2，∴∠DBC1=90°， ∴cos∠BC1D=
由题意，为得到函数 y sin(2 x π ) 的图象，只需把函数 y sin 2 x 的图象
上所有的点向右平移
6
个单位长度，故选D.
3
类型三：三角函数中的“平移法”
评析： 本题考查三角函数图象的平移，在函数
f ( x) sin(ωx φ)
的图象平移变换
中要注意“ω ”的影响，变换有两种顺序：一种 y sin x 的图象向左平移 φ
“中学数学解题思想方法”-平移法
山东省荣成市第五中学 于颖秀
“中学数学解题思想方法”-平移法
所谓“平移法”就是通过点的平移或者线的平移得到图象的 平移，从而使问题得到解决的方法，在高中数学中“平移法”是 一种重要的解题方法：如平移变换是可用来化简函数解析式，以
便于讨论函数图象的性质和画出函数图象的一种重要方法；用平
1 个单位得 y sin( x φ) 的图象，再把横坐标变为原来的 ω 倍，纵坐标不变，
得 y sin(ωx φ) 的图象， 另一种是把 y sin x的图象横坐标变为原来的 ω 倍，纵坐标不变，得
y sin ωx
1
的图象，再向左平移
φ ω
个单位得y sin(ωx φ) 的图象．
m
1 在区间 0, 为减函数，在区间 m
1 , 为增函数 m
，
函数 y x m 为增函数，其值域为 m,1 m ， 2 若两个函数的图象有1个交点则有 m 1 1 m ， 解可得m≤0 或m≥3 ，又由m为正数，则m≥3 ， 综合可得m的取值范围是 0,1 3, ,本题选B。
向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到如图所 示：
类型一：用平移的方法画函数的图象 例2：（2017山东理10）已知当x 0,1 时，函数
y mx 1 的图象
2
与 y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A） 0,1 2 3, （B） 0,1 3, （C） （D） 0, 2 0, 2 3, 2 3, 解析：
y mx 1 为二次函数，是将函数 y mx 根据题意，由于m为正实数，
2
2
1 的图象向右平移 m 个单位得到的，在区间 0, 为减函数，
1
增函数，

m
1 , 为 m
函数
y x m
是将函数
y x
的图象向上平移m个单位得到的，为增
函数，
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分析： 【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出 AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理， 结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱 柱，解法更简洁．
类型二：立体几何中的“平移法” 例： （2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个 不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求 出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过 原点的直线)；(3)求出最终结果．
类型一：用平移的方法画函数的图象 例2：（2017山东理10）已知当x 0,1 时，函数
y mx 1 的图象
2
与 y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A） 0,1 2 3, （B） 0,1 3, （C） （D） 0, 2 0, 2 3, 2 3, 解析： 分两种情况讨论： ①当0<m≤1时，有 在区间[0,1]上，函数 y mx 1 为减函数，其值域为 m 12 ,1 ，
移的方法将异面直线所成角转化为相交直线的夹角的问题；三角 函数的平移变换，线性规划问题等等，借助平移可以使以上问题 得到简化和解决。
类型一：用平移的方法画函数的图象
x2 例1：画出下列函数的图象 y x3
解析：
y x2 1 1 x3 x3
该函数图象可由函数 y
1 x
的图象
∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值为（ ） A． 3 B． 15 C． 10 D． 3
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解析： 【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1所成角为MN和NP的夹角. 1 5 可知MN= 2 AB1= 2 ， NP= 1 BC1= 2 ； 2 2 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； 1 ∵PQ=1，MQ= 2 AC，
类型二：立体几何中的“平移法” 例： （2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值为（ ） A． 3 B． 15 C． 10 D． 3 【解法一】△ABC中，由余弦定理得 解析： AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC 7 1 =4+1﹣2×2×1×（﹣ 2 ）=7，∴AC= 7 ，∴MQ= 2 ； 在△MQP中，MP = MQ PQ 11 ； 2 MN NP PM 10 在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP ； 2 MN NP 5 又异面直线所成角的范围是（0， ]， 2 ∴AB1与BC1所成角的余弦值为 10 ．
类型四：平移法在线性规划当中的应用
x y 1 0 （2016新课标Ⅲ13）若x，y满足约束条件 , x 2 y 0 x 2 y 2 0 则z=x+y的最大值为_____________.
解析： 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示. 由图知，当直线z=x+y经过点A时，z取得最大值.
2
1 1 m
，
函数 y x m 为增函数，其值域为 m,1 m ，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
类型一：用平移的方法画函数的图象 例2：（2017山东理10）已知当x 0,1 时，函数
y mx 1 的图象
2
与 y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A） 0,1 2 3, （B） 0,1 3, （C） （D） 0, 2 0, 2 3, 2 3, 解析： 2 1 ②当m>1时，有 1 ，函数 y mx 1
类型三：三角函数中的“平移法” 例： （2016四川卷理3．）为了得到函数
只需把函数 y sin 2 x 的图象上所有的点
6
π y sin(2 x ) 的图象， 3
（A）向左平行移动 3 个单位长度 （B）向右平行移动
（C）向左平行移动 解析：
个单位长度
3 个单位长度 （D）向右平行移动 个单位长度 6
x 2 y 2 0 由 得 x 2 y 0
x 1 1 y 2
，即 A(1, 1 ) ，
2
则
zmax 1
1 3 2 2
．
类型四：平移法在线性规划当中的应用
评析： 解决线性规划问题关键看目标函数的几何意义，当目标函数是线性的
目标函数时主要用平移的方法求解目标函数的最大值，利用图解法解
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．
类型二：立体几何中的“平移法”
评析：
应用平移法计算两条异面直线所成角主要的方法：利用平行四边形
的对边或三角形的中位线平移两条异面直线中的一条（或两条都平移） 得到两条相交直线，构造三角形，解三角形， 求出两相交直线的夹角，即可求得两条异面直线所成角。 特别注意两异面直线所成角的范围是 0 ,90 .
类型一：用平移的方法画函数的图象
评析： 函数图象的平移变换规则简记为：“左加右减，上加下减”，并注意左
右的加减是对x而言，上下的加减是针对f(x)而言。
类型二：立体几何中的“平移法” 例： （2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值为（ ） A． 3 B． 15 C． 10 D． 3