天津河东区2020年高考数学一模试卷(含答案)

2020年高考数学一模试卷

一、选择题

1．已知集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣3，4}

B．{﹣2，4，5}

C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5}

D．{﹣2，4}

2．i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|＝2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线y x垂直，则a的值为（）A．5B．25C．D．1

4．已知平面α、β，直线l?α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m

C．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β

5．对于非零向量、，“2”是“，共线”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．已知函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各式一定正确的是（）

A．f（1）﹣f（log 2）＞f（0）﹣f（log9）

B．f（log9）+f（﹣1）＝f（log 2）+f（0）

C．﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log 28）

D．f（log9）+f（﹣1）＜f（log 2）+f（0）

7．三角形ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，∠A，b＝3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（）

A．B．C．7D．49

8．已知实数a、b，ab＞0，则的最大值为（）

A．B．C．D．6

9．已知函数f（x）＝sin（4x）（x∈[0，]），函数g（x）＝f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）

A．[，]B．[，]C．[0，）D．[，）二、填空题

10．在（）5的展开式中，xy3的系数是．

11．已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离．

12．已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为．

13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为．

14．已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则?，若线段BC

上一点D，BD DC，．

15．函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），n∈N*，则n的最大值为．

三、解答题

16．已知递增等差数列{a n}，等比数列{b n}，数列{c n}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5成等比数列，b n＝a n+c n，n∈N*．

（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；

（2）求数列{c n}的前n项和S n．

17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：

（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；

（3）若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由．

19．已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，∠BFC＝120°．

（1）求椭圆离心率；

（2）点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；

（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x＝2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明．

20．已知函数f（x）＝x2﹣x+klnx，k＞0．

（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，求k的值；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）﹣f（x2）|2k．

参考答案

一.选择题

1．已知集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣3，4}

B．{﹣2，4，5}

C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5}

D．{﹣2，4}

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

解：∵集合A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}＝（﹣π+1，π+1）

∴A∩B＝{﹣2，4}，

故选：D．

2．i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|＝2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】设Z＝x+yi，（x，y∈R）．由2Z+|Z|＝2i，可得2（x+yi）2i，可得：2x0，2y＝2，解出即可得出．

解：设Z＝x+yi，（x，y∈R）．

∵2Z+|Z|＝2i，∴2（x+yi）2i，

可得：2x0，2y＝2，

解得y＝1，x．

∴复数Z在复平面的坐标为（，1）在第二象限．

故选：B．

3．双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线y x垂直，则a的值为（）

A ．5B．25C．D．1

【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a＞0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线y x的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可．

解：根据题意，双曲线1（a＞0）的一条渐进线为y＝±x；

直线y x的斜率为，

双曲线1（a＞0）的一条渐进线与直线y x垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为；

即a＝5，

故选：A．

4．已知平面α、β，直线l?α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m

C．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．

解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；

对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l?α，则l⊥m，故B正确；

对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m?β，故C错误；

对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．

故选：B．

5．对于非零向量、，“2”是“，共线”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】对于非零向量、，“2”?“，共线”，反之不一定成立，可举例说明．

解：对于非零向量、，“2”?“，共线”，

反之不一定成立，可能：2等．

∴“2”是“，共线”的充分不必要条件．

故选：B．

6．已知函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各式一定正确的是（）

A．f（1）﹣f（log 2）＞f（0）﹣f（log9）

B．f（log9）+f（﹣1）＝f（log 2）+f（0）

C．﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log 28）

D．f（log9）+f（﹣1）＜f（log 2）+f（0）

【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，据此结合不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．

解：根据题意，函数f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，则有f（0）＝0，

据此分析选项：

对于A，f（1）﹣f（log 2）＞f（0）﹣f（log9），即f（1）﹣f（﹣3）＞f（0）﹣f（﹣2），变形可得f（1）+f（3）＞f（2），不一定正确；

对于B，f（log9）+f（﹣1）＝f（log 2）+f（0），即f（﹣2）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（0），变形可得f（2）+f（1）＝f（3），不正确；

对于C，﹣f（log9）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log 28），即﹣f（﹣2）+f（﹣1）＞f （1）﹣f（3），变形可得f（2）﹣2f（1）+f（3）＞0，不一定正确；

对于D，f（log9）+f（﹣1）＜f（log 2）+f（0），即f（﹣2）+f（﹣1）＜f （﹣3），变形可得f（2）+f（1）＞f（3），

又由f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则必有f（2）+f（1）＞f（3），故D一定正确；

故选：D．

7．三角形ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，∠A，b＝3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（）

A．B．C．7D．49

【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求a的值．解：∵∠A，b＝3，三角形ABC的面积为bc sin A，∴解得：c＝5，

∴由余弦定理可得：a7．故选：C．

8．已知实数a、b，ab＞0，则的最大值为（）

A．B．C．D．6

【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．

解：由于a2+b2≥2ab＞0，

所以，

故：，（当且仅当a＝b时，等号成立）．故选：A．

9．已知函数f（x）＝sin（4x）（x∈[0，]），函数g（x）＝f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）

A．[，]B．[，]C．[0，）D．[，）

【分析】根据题意画出函数f（x）的图象，函数g（x）＝f（x）+a有三个零点，等价于函数y＝f（x）与函数y＝﹣a有三个交点，利用数形结合法即可求出x1+x2+x3的取值范围．

解：根据题意画出函数f（x）的图象，如图所示：

，

函数g（x）＝f（x）+a有三个零点，等价于函数y＝f（x）与函数y＝﹣a有三个交点，当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意，

由图象可知：，，

所以，

故选：D．

二、填空题

10．在（）5的展开式中，xy3的系数是．

【分析】写出二项展开式的通项，得到r值，则答案可求．

解：（）5的展开式的通项为．取r＝3，可得（）5的展开式xy3的系数为．

故答案为：．

11．已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离1．

【分析】先通过焦点坐标，求出p和抛物线的方程，再把点P的坐标代入，可求得t，然后利用抛物线的定义即可得解．

解：设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），

∵抛物线的焦点为F（0，），∴p＝1，抛物线的方程为x2＝﹣2y，

把点P（1，t）代入x2＝﹣2y，得1＝﹣2t，∴t，

由抛物线的定义可知，

点P到F的距离为．

故答案为：1．

12．已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为．

【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论．解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，∵圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），∴，求得，故圆的方程为x2+y2+2x﹣4y＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示圆心为（﹣1，2）、半径为的圆．

∵|DO|2，

故点D（3，4）到圆O上的点最小距离为2，

故答案为：．

13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为6π．

【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，而球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球O的半径，进而求出球O的表面积．解：设正四棱锥的底面边长为a，则高也是a，

所以正四棱锥的体积为：，

解得：a＝2，

设底面中心为点O，则O为球心，

易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，如图所示：

，

因为球O经过四棱锥四条侧棱中点，所以球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，

显然长方体的高为2，

所以球O的半径R，

所以球O的表面积为：4πR2＝46π，

故答案为：6π．

14．已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则?，若线段BC 上一点D，BD DC，．

【分析】先根据正弦定理求得半径R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求得第二个空．

解：因为△ABC是半径为R的⊙O的内接正三角形．

所以2R，解得R．

显然△OBC是等腰三角形，且OB＝OC＝R，∠BOC＝120°．

∴R2?cos120°，

∵线段BC上一点D，BD DC，

∴（）?（）（）?（）（）（﹣222×2×cos60°22）；

故答案为：，．

15．函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），n∈N*，则n的最大值为8．

【分析】因为f（x1）+f（x2）+…f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f （x n）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（x n﹣1﹣1）2+2＝（x n﹣1）2+2有解，又左边的最小值为2（n﹣1），右边的最大值为，所以2（n﹣1）且n为正整数，从而可得n的最大值为8．

解：因为f（x1）+f（x2）+…f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（x n﹣1﹣1）2+2＝（x n﹣1）2+2有解，

∵，

∴（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（x n﹣1﹣1）2+2≥2（n﹣1），（x n﹣1）2+2，根据题意得2（n﹣1）且n为正整数，

∴n，∴n的最大值为8，

故答案为：8．

三、解答题

16．已知递增等差数列{a n}，等比数列{b n}，数列{c n}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5成等比数列，b n＝a n+c n，n∈N*．

（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；

（2）求数列{c n}的前n项和S n．

【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到a n；再由b1＝a1+c1，可得{b n}的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；

（2）求得c n＝b n﹣a n＝2n﹣（2n﹣1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

解：（1）递增等差数列{a n}的公差设为d，d＞0，

a1、a2、a5成等比数列，可得a22＝a1a5，

即（a1+d）2＝a1（a1+4d），即为（1+d）2＝1+4d，解得d＝2（0舍去），

则a n＝2n﹣1，n∈N*；

等比数列{b n}的公比设为q，

b1＝a1+c1＝2，b n＝2q n﹣1，

b4＝a4+c4＝16，即有q38，解得q＝2，

则b n＝2n，n∈N*；

（2）c n＝b n﹣a n＝2n﹣（2n﹣1），

前n项和S n＝c1+c2+…+c n＝（2+22+…+2n）﹣[1+3+…+（2n﹣1）]

（1+2n﹣1）n＝2n+1﹣2﹣n2．

17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：

（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？

【分析】（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，利用古典概型概率计算公式能求出周五采访学历型人才不超过2人的概率．

（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x，分别求出相应的概率，进而求出E（ξ）＝484.6+0.018x，由484.6+0.018x≥500，能求出结果．

解：（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，

则周五采访学历型人才不超过2人的概率为：

P（A）．

（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，

各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x，

P（ξ＝400）＝25.5%＝0.255，

P（ξ＝500）＝53.6%＝0.536，

P（ξ＝600）＝19.1%＝0.191，

P（ξ＝x）＝1.8%＝0.018，

E（ξ）＝400×0.255+500×0.536+600×0.191+0.018x＝484.6+0.018x，

484.6+0.018x≥500，

解得x855.56，

∴创业急需型人才最少需要855.56元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；

（3）若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．设PA ＝a（a＞0），求出平面BDE的一个法向量为与的坐标，利用，结合PC?平面BDE，可得PC∥平面BDE；

（2）设平面PCD的法向量为，求出及

，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得a 值，可得PA的长度是2或4；

（3）由PA＝2，得P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF⊥平面BDE，且，得到F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），再由与共线求得λ，得到

的坐标，则|PF|可求．

【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．

设PA＝a（a＞0）

则A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0），

P（a，2，0），E（）．

，

设平面BDE的一个法向量为．

，，

由，取y1＝1，得．

，

又PC?平面BDE，∴PC∥平面BDE；

（2）证明：设平面PCD的法向量为，

，，

由，令x2＝2，得．

，

由题意，|cos|＝||，解得a＝2或4，

∴PA的长度是2或4；

（3）解：∵PA＝2，∴P（2，2，0），

设线段PC上存在一点F，使AF⊥平面BDE，且，

由，得F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），

又，，

∴由，解得．

∴|PF|＝||．

19．已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，∠BFC＝120°．

（1）求椭圆离心率；

（2）点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；

（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x＝2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明．

【分析】（1）根据∠BFC＝120°可知，∠OFC＝60°，再结合锐角三角函数即可求得离心率；

（2）由（1）的结论，先导出b与c的关系，确定B和C的坐标后，写出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式可建立a与c的等量关系，再结合a＝2c，即可求得a、b、c的值，于是得解；