可降阶的高阶微分方程.
§12-7 可降阶的高阶微分方程
特点： 不显含未知函数y及 y,, y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
解法：可通过变换 y e zdx
k次齐次函数
将其降阶, 得新未知函数 z( x).
y
ze
zdx
,
y (z z2 )e zdx , ,
y(n) (z, z,, z(n1) )e zdx , 代入原方程并消去 ek zdx ,
得新函数z( x)的(n 1)阶方程
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为 dy dx
P( y) ( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1, ,
Cn1 )
x Cn,
例 2 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
常微分方程课件--可降阶的高阶方程
x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：
w dx c1 H 1 p2
dp
x ln( p 1 ( p) ) c1 （1.7.1８） 即 a H 式中 a ．把初始条件 y(0) 0 代入 w （1.7.1８）上式得：1 0 ，故（1.7.1８）变为 c
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
dx d n 1 x 方程,但乘以一个合适的因子 (t , x, , n 1 ) dt dt 后就成为全微分方程. 称其为方程(1.7.4)的积分
因子.
d 2 x dx 2 例 求解方程 x ( ) 0 2 dt dt
解：原方程可以写成 d ( xx ' ) 0 dt 故有 xx c
又由于
dS dy 2 1 ( ) dx dx
故
dW dy 2 w 1 ( ) dx dx d2y w dy 2 1 ( ) 2 dx H dx
从而方程（1.7.16）化为： （1.7.1７）
记 b 为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离， 则有： y(0) b, y(0) 0 （1.7.1７）是一个不显含自变量
原方程可以写成dtdtxxdt积分后得通解为故有dtdtdtdt可降阶的高阶方程的应用举例速度v运动方向永远指向p点求m点的运动例1追线问题平面上另有一点m它以常正向移动
可降阶的高阶微分方程
主讲教师 杨文杰可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义 '''()(,,,,)0 n F x y y y = K 2．可降阶的高阶微分方程类型及其解法 (1) 型()() n yf x = (2) 型 (,) y f x y¢¢¢ = 解法：逐次积分，降为一阶微分方程.解法：设y ¢=p (x )，则y ¢¢=p ¢，代入方程中得 p ¢ =f (x , p ) ， 降为一阶微分方程.(3) 型 (,) y f y y¢¢¢ = 二、可降阶的高阶微分方程的解题方法可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微 分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解. 解题方法见流程图．解法：设y ¢=p (y )，则 , dp dy dpy p dy dx dy¢¢ =×= 代入方程中得 降为一阶微分方程. (,), dpp f y p dy=解题方法流程图逐次积分), ( y x f y ¢ = ¢ ¢ 解一阶微分方程解一阶微分方程), ( y y f y ¢ = ¢ ¢ 可降阶的高阶微分方程)( ) ( x f y n = 转化为一阶方程) , ( p x f p = ¢ ), , , , ( n c c c x y K 2 1 j = 通解 Yes令 y p ¢ = 转化为一阶方程(,) pp f y p ¢= No特点:不显含 y特点:不显含 x 令 y p ¢ =三、典型例题【例1】求方程 的通解.2xy y x ¢¢¢ -= 解：由于不显含 ，令 ，则 y () y p x ¢ = y p¢¢¢ = 代入原方程整理得 1p p x x¢-= 为一阶线性方程，21 y p C x x¢ ==+ 再积分，得原方程的通解为23 12 11 23y C x x C =++ 32 121 3 x C x C =++ 代入求解公式得解：由于不显含 () y p y ¢ = y pp¢¢¢ = x ,令 ,则 代入原方程得 2ypp p ¢+= 所以0 p = 或 0yp p ¢+= 当 0 yp p ¢+= 时，此方程为可分离变量的方程， 分离变量得：dp dyp y=- 【例2】求方程 2()0 y y y¢¢¢ += 满足初始条件 0 12x y = ¢ = 的特解. 0 1, x y = =积分得：ln ||ln || p y C=-+ 所以 1 1 () C C p C e y==± 即 1 C y y ¢= 将 00 1 1, 2 x x y y == ¢ == 代入得 11 2C = ，从而 1 2 y y ¢ = 分离变量后积分得 22 , y x C =+ 将 01 x y = = 代入得2 1 C = 所求方程的特解为：21y x =+ 特解为 1 y = ，含在 内.2 1 y x =+ 当 时，即 0 y ¢= 积分得 , y C = 0 p =。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶的高阶微分方程
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。
然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。
本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。
一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。
例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。
降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。
下面介绍几种常用的降阶方法。
1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。
例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。
3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。
具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。
将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程
参数法的基本思想 参数法的应用范围 参数法的求解步骤 参数法的优缺点
描述物理现象：可降阶的高阶微分方程可以用来描述复杂的物理现象，如振荡、波动、控制 等。
建立数学模型：通过可降阶的高阶微分方程，可以建立物理系统的数学模型，从而更好地理 解和分析物理现象。
数值模拟：可降阶的高阶微分方程可以用于数值模拟，通过计算机程序模拟物理系统的行为， 从而更好地预测和控制系统的行为。
定义和分类：介绍了可降阶的高阶微分方程的定义和分类，包括具有代表性的几种类型。
求解方法：总结了可降阶的高阶微分方程的求解方法，包括常用的数值方法和解析方法。
应用领域：列举了可降阶的高阶微分方程在各个领域的应用，如物理、化学、生物、工程等。
未来研究方向：展望了可降阶的高阶微分方程未来的研究方向，包括新的求解方法、应用领 域的拓展等。
分解法：将高阶微分方程分解为多个一阶微分方程，逐个求解，最后得到原方程的解。
降阶法：通过适当的变换，将高阶微分方程降为低阶微分方程，然后求解。 近似法：对于某些难以直接求解的高阶微分方程，可以采用近似法求解，如Runge-Kutta方法等。
数值解法：对于一些实际问题，可以采用数值解法求解高阶微分方程，如有限差分法、有限元法等。
优化设计：可降阶的高阶微分方程可以用于优化设计，通过调整系统的参数，使系统的性能 达到最优。
机械工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 机械系统的动态 行为，例如弹簧阻尼系统、振荡 器等。
航空航天工程： 可降阶的高阶微 分方程可以用于 描述飞行器的动 态特性，例如空 气动力学、飞行 控制等。
电子工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 电路系统的动态 行为，例如RC电 路、RLC电路等。
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可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
第五节 可降阶的高阶微分方程
方程化为
dp dy = p y
S2 = ∫ y(t) d t
0
x
解 解 p = C y, 利用定解条件得 C =1,再 y′ = y, 得 得 1 1 x , y = C2 e , 再利用 y (0) = 1 得 C2 =1 故所求曲线方程为
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
B(x, y)
(−1,0) O
(0,1)
vt
x
d x ′2 dx = ∫ 1+ y d t −1
y
代入 ① 式得所求微分方程:
(0,1)
A vt
B(x, y)
(−1,0) O
x
1 x y′′ + 1+ y′2 = 0 即 2 其初始条件为
y
x =−1 = 0,
y′ x=−1 =1
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y ′′′ = xe x ； 2、 y ′′ = 1 + y ′ 2 ； 2 3 y′ 2 = 0 . 4、 3、 y ′′ = ( y ′ ) + y ′ ； 4、 y ′′ + 1− y 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y ′′ + 1 = 0 , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 0 ； 2、 y ′′ − ay ′ 2 = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = −1； 3、 y ′′ = 3 y , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 2 . 三、试 求 y ′′ = x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2
第五节可降阶的高阶微分方程
两边积分后得通解 y2 C1 x C2
13
可降阶的高阶微分方程
2002年考研数学一, 3分
微分方程 yy y2 0 满足条件 y x0 1,
y x0
1 2
的特解是
y
x 1 或 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
6
可降阶的高阶微分方程
例 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解法 设 y p, y dp p. 将p作为新的 dx
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
3
可降阶的高阶微分方程
yy y2
y2
d( dx
y ) 0
y
y y C1
故 y C1 y
可分离变量方程
从而通解为 y C2eC1x
12
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 将方程写成 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1 可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy
7546;可降阶的高阶微分方程
分离变量有 dp dy p 0
p 2y
两端积分得
1 ln p 2 ln y ln C1
故 p C1 y
即 再分离变量
dy C1 dx y
ydy C1dx
再积分得 化简得
2
y
3 2
3
C1x C2
3
y 2 C3 x C4
2
或 y (C3 x C4 ) 3
例 7 已知曲线, 它的方程y=f(x)满足微分方程
（降低了阶数，转化 为p与y的关系）
即 y f ( y, y) 不显含x型
解法
：令 y p(x),则
y dp dp dy p dp . dx dy dx dy
代入原方程 p dp f ( y, p) （降低了阶数，转化
dy
为p与y的关系）
设通解为： p ( y, c1),
dy dx
p2
)
ln
y
ln
c1
,
即
1 1 p2
yc1 ,
p 1
Q y 1, y 1, 上式不满足初始条件的解，
x0
x0
考虑 p 1, 即 dy 1, y x c dx
满足初始条件的解为 y=1-x
小 结 1. y(n) f (x)
解法：视 y(n) [ y(n1) ]，积分一次得
（降了一阶）
三、不显含自变量 x 的二阶微分方程
形如 y'' f ( y, y' )的微分方程。
解法： 令y' p,并利用复合函数的求导法则
把y''化为对y的导数，即
y'' dp dp dy p dp y p. dp
dx dy dx dy
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程一、可降阶的高阶微分方程在数学中，可降阶的高阶微分方程指的是一个高阶微分方程可以通过一系列变量代换和降阶操作化简为低阶的微分方程。
这种化简的方法在求解高阶微分方程时非常有用，可以简化计算过程并得到解析解。
具体而言，可降阶的高阶微分方程通常可以通过一系列变量代换将高阶导数转化为低阶导数，从而降低微分方程的阶数。
常见的变量代换包括令新变量等于原函数的高阶导数，或者令新变量等于原函数与其高阶导数之间的某种组合。
通过这些变量代换，高阶微分方程可以转化为一系列关于新变量的低阶微分方程。
例如，考虑一个三阶微分方程：\[y'''(x) + p(x)y''(x) + q(x)y'(x) + r(x)y(x) = 0\]可以通过令新变量\(v = y'(x)\)和\(u = v'\)来进行变量代换。
通过求导可以得到：\[v' = u\]将上述代换带入原方程，可以得到一个关于\(u\)和\(v\)的二阶微分方程：\[u' + p(x)u + q(x)v + r(x)y = 0\]通过继续进行变量代换，可以将该二阶微分方程进一步降阶为一阶微分方程。
这种可降阶的方法可以在高阶微分方程的求解中起到重要的作用。
二、二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程是一种形式为\(ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0\)的微分方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是常数。
这类微分方程在物理、工程和数学等领域中广泛应用，可以描述许多自然现象和物理过程。
对于二阶常系数微分方程，其特征方程为\(ar^2 + br + c = 0\)，其中\(r\)为待定的解。
通过解特征方程可以得到该微分方程的通解。
特别地，当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为：\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]其中\(C_1\)和\(C_2\)为任意常数，\(r_1\)和\(r_2\)为特征方程的两个实根。
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分离变量
dp p
dx 1 ex
积出: Ln | p | Ln ex LnC
1 ex
3、yy '' ( y ')2 y '
3、yy '' ( y ')2 y解：
dy
令 p y ' 则 y '' p dp
原方程变为yp
dp
p2
dy
p
dx 1 c1 y
dy
dp
Ln |1 c1y | x C2
(1x2)p2xp
或
dp dx
12xx2
p
0
于是 p C1e12xx2 dx C1(1 x2)
即
yC1(1x2)
两边再积分 得原方程的通解
y
C1(x
1 3
x3)
C2
三、yf(y y)型的微分方程
❖方程的解法
例4 求方程yyy20的通解
设yp
解 设yp 则原方程化为
yyyddddddpxpxpxddddddpypypyddddddyxyxyxpppddddddpypypy 原方程变为 p dp f (y, p)
dy
设此方程的通解为
即
dy
pj(y C1) j(y,c)
dx
dy dx
j ( y, c)
积出即可
或 于是
yp dp p2 0
dp
1
dy p
0
(
y0
p0)
dy p
y C1e
1 y
dy
C1
y
即
dy dx
c1 y
dy y c1dx
Ln | y | c1x c2
y Cec1x
课堂练习
1、 y '' x sin x
y p 1
dy 分离变量 dp dy
1 c1 y exC C2ex
1 p y 积出Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
c1 y 1 C2ex
1 p c1 y
y C3 C4ex
即
dy dx
p 1 c1 y
y dp p 1 dy
分离变量 dp dy 1 p y
y c1Ln( y c1) x c2
解：积分两次即可，
y
y'
1
6
1 x2 2
x3
cos x
sin x
C1
C1x
C2
2、 y ''(1 ex ) y ' 0
1 p
Cex 1 ex
p C1(1 ex )
y C1(1 ex )dx
C1(x ex ) C2
解：令 p y ' 原方程变为：
p '(1 ex ) p 0
80 200 a2 3
200a2t1 1
400t1
0.1
400t1 3
[Ln(3t1
2t1)
Ln(2t1)
dx p
200
400t1
dt
200 3 t 1 3t 2t1
400t1
分离变量dx 400t1 dt
3t 2t1
t1
3 400Ln2.5
8.2 *104
(s)
积分x
400t1 3
x
M
1
又因为曲线弧过O(0,0),但特解中对数在零点无意义， 所以补充定义y |x0 0
所求曲线弧方程为
积出 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
1 p c1 y
p y c1 y
dy y c1 ydy dx
dx y
y c1
例5、一质量为m的子弹初速度v=200m/s打进厚度为0.1m的木板， 穿透木板后又以v=80m/s离开木板，木板对子弹阻力的大小与 子弹速度大小的平方成正比，求子弹穿透木板所需的时间。
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
二、yf(x y)型的微分方程 三、yf(y y)型的微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
❖方程的解法 积分n次
yy(n(n11)) ff((xx))ddxxCC11 yy((nn22)) [[ ff((xx))ddxxCC11]]ddxxCC22
求质点的运动规律？ 解：这是一个初值问题
m
d2x dt 2
sin 2t
积分
x
'
1 2m
cot
2t
C1
x |t0 0
x ' |t0 0
将x
'
|t 0
0代入 ，
C
1 2m
所以 x ' 1（1 cot 2t） 2m
再积分
x
1（t 2m
1 2
sin
2t）
C2
将x |t0 0代入 ， C2 0
例1 求微分方程ye2xcos x 的通解
解 对所给方程接连积分三次 得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e2x
sin
x
1 2
C1x2
C2 x
C3
这就是所给方程的通解
例2、设质量为m的质点在原点处，在与x轴同向的力：
F (t) sin 2t 的作用下由静止开始直线运动，
0
对上式两端关于x求导
2 y(x)
1
(
y
xy
')
2x
y
整理得 y ' 1 y 4 2
x
y e P(x)dx ( Q(x)e P(x)dxdx C)
p(x,y)
A(1,1)
e
1 x
dx
(
4e
1 x
dx
dx
C)
0
x(
4
1 x
dx
C)
x(4Lnx C)
因为曲线弧过A（1，1）点，代入通解 C=1
解： 设子弹运动方向为x轴，子弹进入木板的时刻为原点。
根据牛顿第二定律和题意得 x '' a2 (x ')2 (2)
m
d2x dt 2
k( dx )2 dt
(1)
其中k 0为比例系数，记a2 k
m
x
|t
0
0
x
'
|t
0
200
令 p x'
(2)变为 p ' a2 p2 (3)
分离变量
1 p2
所求运动规律为x 1（t 1 sin 2t） 2m 2
二、yf(x y)型的微分方程
❖方程的解法
例3 求方程(1x2)y2xy
设yp 则方程yf(x y) 的通解
化为
解 设yp 则原方程化为
pf(x p) 设此方程的通解为
pj(xC1)
则
yj(xC1)
于是方程yf(x y)的通解为
y j(x,C1)dx C2
Ln(3t
2t1)
C2
作业 P229 习题4—5 1、 （1） （2）（6） 3、
3、设有连接O(0,0)和A（1，1）的一段向上凸的曲线弧，在曲
线弧上任取一点P(x,y),则由曲线弧OP和直线OP所围的面积
是x的平方，求曲线弧OA的曲线方程。
设曲线弧的方程为 y y(x)
依题意有 x y(t)dt 1 xy x2
dp
a2dt
积分
1 p
a2t
C1
（4）
将x ' |t0 200代入（4）中
1 200
a2
*0
C1
C1
1 200
P
200 200a2t
1
将x
|t 0
0代入
C2
400t1 3
Ln(2t1)
x
400t1 3
[Ln(3t
2t1)
Ln(2t1)
依题意 x ' |tt1 80代入得：
将x |tt1 0.1上式