可降阶的高阶微分方程.

解： 设子弹运动方向为x轴，子弹进入木板的时刻为原点。
根据牛顿第二定律和题意得 x '' a2 (x ')2 (2)
m
d2x dt 2
k( dx )2 dt
(1)
其中k 0为比例系数，记a2 k
m
x
|t
0
0
x
'
|t
0
200
令 p x'
(2)变为 p ' a2 p2 (3)
分离变量
1 p2
y p 1
dy 分离变量 dp dy
1 c1 y exC C2ex
1 p y 积出Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
c1 y 1 C2ex
1 p c1 y
y C3 C4ex
即
dy dx
p 1 c1 y
y dp p 1 dy
分离变量 dp dy 1 p y
y c1Ln( y c1) x c2
0
对上式两端关于x求导
2 y(x)
1
(
y
xy
')
2x
y
整理得 y ' 1 y 4 2
x
y e P(x)dx ( Q(x)e P(x)dxdx C)
p(x,y)
A(1,1)
e
1 x
dx
(
4e
1 x
dx
dx
C)
0
x(
4
1 x
dx
C)
x(4Lnx C)
因为曲线弧过A（1，1）点，代入通解 C=1
求质点的运动规律？ 解：这是一个初值问题
m
d2x dt 2
sin 2t
积分
x
'
1 2m
cot
2t
C1
x |t0 0
x ' |t0 0
将x
'
|t 0
0代入 ，
C
1 2m
所以 x ' 1（1 cot 2t） 2m
再积分
x
1（t 2m
1 2
sin
2t）
C2
将x |t0 0代入 ， C2 0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
1
又因为曲线弧过O(0,0),但特解中对数在零点无意义， 所以补充定义y |x0 0
所求曲线弧方程为
dy
设此方程的通解为
即
dy
pj(y C1) j(y,c)
dx
dy dx
j ( y, c)
积出即可
或 于是
yp dp p2 0
dp
1
dy p
0
(
y0
p0)
dy p
y C1e
1 y
dy
C1
y
即
dy dx
c1 y
dy y c1dx
Ln | y | c1x c2
y Cec1x
课堂练习
1、 y '' x sin x
解：积分两次即可，
y
y'
1
6
1 x2 2
x3
cos x
sin x
C1
C1x
C2
2、 y ''(1 ex ) y ' 0
1 p
Cex 1 ex
p C1(1 ex )
y C1(1 ex )dx
C1(x ex ) C2
解：令 p y ' 原方程变为：
p '(1 ex ) p 0
Ln(3t
2t1)
C2
作业 P229 习题4—5 1、 （1） （2）（6） 3、
3、设有连接O(0,0)和A（1，1）的一段向上凸的曲线弧，在曲
线弧上任取一点P(x,y),则由曲线弧OP和直线OP所围的面积
是x的平方，求曲线弧OA的曲线方程。
设曲线弧的方程为 y y(x)
依题意有 x y(t)dt 1 xy x2
dp
a2dt
积分
1 p
a2t
C1
（4）
将x ' |t0 200代入（4）中
1 200
a2
*0
C1
C1
1 200
P
200 200a2t
1
将x
|t 0
0代入
C2
400t1 3
Ln(2t1)
x
400t1 3
[Ln(3t
2t1)
Ln(2t1)
依题意 x ' |tt1 80代入得：
将x |tt1 0.1上式
积出 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
1 p c1 y
p y c1 y
dy y c1 ydy dx
dx y
y c1
例5、一质量为m的子弹初速度v=200m/s打进厚度为0.1m的木板， 穿透木板后又以v=80m/s离开木板，木板对子弹阻力的大小与 子弹速度大小的平方成正比，求子弹穿透木板所需的时间。
所求运动规律为x 1（t 1 sin 2t） 2m 2
二、yf(x y)型的微分方程
❖方程的解法
例3 求方程(1x2)y2xy
设yp 则方程yf(x y) 的通解
化为
解 设yp 则原方程化为
pf(x p) 设此方程的通解为
pj(xC1)
则
yj(xC1)
于是方程yf(x y)的通解为
y j(x,C1)dx C2
80 200 a2 3
200a2t1 1
400t1
0.1
400t1 3
[Ln(3t1
2t1)
Ln(2t1)
dx p
200
400t1
dt
200 3 t 1 3t 2t1
400t1
分离变量dx 400t1 dt
3t 2t1
t1
3 400Ln2.5
8.2 *104
(s)
积分x
400t1 3
分离变量
dp p
dx 1 ex
积出: Ln | p | Ln ex LnC
1 ex
3、yy '' ( y ')2 y '
3、yy '' ( y ')2 y解：
dy
令 p y ' 则 y '' p dp
原方程变为yp
dp
p2
dy
p
dx 1 c1 y
dy
dp
Ln |1 c1y | x C2
(1x2)p2xp
或
dp dx
12xx2
p
0
于是 p C1e12xx2 dx C1(1 x2)
即
yC1(1x2)
两边再积分 得原方程的通解
y
C1(x
1 3
x3)
C2
三、yf(y y)型的微分方程
❖方程的解法
例4 求方程yyy20的通解
设yp
解 设yp 则原方程化为
yyyddddddpxpxpxddddddpypypyddddddyxyxyxpppddddddpypypy 原方程变为 p dp f (y, p)
例1 求微分方程ye2xcos x 的通解
解 对所给方程接连积分三次 得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e2x
sin
x
1 2
C1x2
C2 x
C3
这就是所给方程的通解
例2、设质量为m的质点在原点处，在与x轴同向的力：
F (t) sin 2t 的作用下由静止开始直线运动，
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
二、yf(x y)型的微分方程 三、yf(y y)型的微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
❖方程的解法 积分n次
yy(n(n11)) ff((xx))ddxxCC11 yy((nn22)) [[ ff((xx))ddxxCC11]]ddxxCC22