高中数学空间向量的运算 ppt课件
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⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a 15
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a
A
P 8 9练 习 1 （ 1 ） 、 （ 2 ） 、 （ 3 ）
D
F
16
B
E
C
四、共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
例 1 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
⑴AB BC； (3 )A B C B A A
(4 )A C D B D C
⑵ABADAA'；
9
二、空间向量的加减运算
C
b
பைடு நூலகம்
O
B
b aA
OBOAABa + b
CAOAOC a - b
2、对空间向量的加法、减法的小结
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 abba
3.1空间向量及其运算
平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则
a 三角形法则(首尾相连)
AB或a
B
零向量
长度为零的向量 0
A
单位向量 长度为1的向量 | e | 1
相等向量 方向相同，长度相等的向量 a b
相反向量 方向相反，长度相等的向量 a与a
向量的模 表示向量的有向线段的长度 | a |
b b
a a
结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
C
p
P
b
AaB
20
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
A1
A n1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量 既有大小，又有方向的量
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
C
p
P
b
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
A3
18
例 2、已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面体
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
N
A
19
五.共面向量及其定理:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
A’
已知平行六面体 ABC DA BC D ,
则下列四式中：
(1)AB CB AC;
D
(2)AC AB BC CC;
A
(3)AA CC;
(4)AB BB BC CC AC.
其中正确的是
。
C’ B’
C B
三、空间向量的数乘运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
c b
a
17
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
a
⑴∵
AP
//
O
a
,∴存即在，唯一P,实A,数Bt三 点R ,共使 A线P。 t或a .表示
∴ 点 P 在直线 l为上： 唯O 一P 实 数( 1 t tR)O , 使A A PtO tB a.①
D’
C’
解：⑴AB BC AC
A’
⑵ABADAA'
B’
AC AA'
ACCC'
D
C
AC '
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
练习1、在如图所示的平行六面体中，
求证： A C A B A D 2 A C . D’
变式：
加法结合律
( a b ) c a ( b c )
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
11
例1 已知平行六 AB面C体 DA'B'C'D'，化简 列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3 )A B C B A A
例如:
3a
a
3a 15
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a
A
P 8 9练 习 1 （ 1 ） 、 （ 2 ） 、 （ 3 ）
D
F
16
B
E
C
四、共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
例 1 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
⑴AB BC； (3 )A B C B A A
(4 )A C D B D C
⑵ABADAA'；
9
二、空间向量的加减运算
C
b
பைடு நூலகம்
O
B
b aA
OBOAABa + b
CAOAOC a - b
2、对空间向量的加法、减法的小结
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 abba
3.1空间向量及其运算
平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则
a 三角形法则(首尾相连)
AB或a
B
零向量
长度为零的向量 0
A
单位向量 长度为1的向量 | e | 1
相等向量 方向相同，长度相等的向量 a b
相反向量 方向相反，长度相等的向量 a与a
向量的模 表示向量的有向线段的长度 | a |
b b
a a
结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
C
p
P
b
AaB
20
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
A1
A n1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量 既有大小，又有方向的量
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
C
p
P
b
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
A3
18
例 2、已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面体
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
N
A
19
五.共面向量及其定理:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
A’
已知平行六面体 ABC DA BC D ,
则下列四式中：
(1)AB CB AC;
D
(2)AC AB BC CC;
A
(3)AA CC;
(4)AB BB BC CC AC.
其中正确的是
。
C’ B’
C B
三、空间向量的数乘运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
c b
a
17
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
a
⑴∵
AP
//
O
a
,∴存即在，唯一P,实A,数Bt三 点R ,共使 A线P。 t或a .表示
∴ 点 P 在直线 l为上： 唯O 一P 实 数( 1 t tR)O , 使A A PtO tB a.①
D’
C’
解：⑴AB BC AC
A’
⑵ABADAA'
B’
AC AA'
ACCC'
D
C
AC '
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
练习1、在如图所示的平行六面体中，
求证： A C A B A D 2 A C . D’
变式：
加法结合律
( a b ) c a ( b c )
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
11
例1 已知平行六 AB面C体 DA'B'C'D'，化简 列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3 )A B C B A A