3对偶理论与灵敏度分析解析

（2）非对称型对偶问题
对偶的基本定理：若一个问题的某约束为等式，
那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反
之， 若一个问题的某变量无非负限制，那么对应
的对偶问题的相应约束为等式。
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P：
max z c j x j
j 1
n
n aij x j bi j 1 x 0 j
第2章 对偶理论 (Duality Theory)
一、对偶问题的提出
二、线性规划的对偶理论 三、对偶问题的经济解释----影子价格 四、对偶单纯形法 五、灵敏度分析
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。
别为 2h 、 0h 、 5h ，已知各设备计划期内用于生产
这两种产品的能力分别是 12h、16h、15h，又知每 生产一件产品Ⅰ企业能获得 2元利润，每生产一件 产品Ⅱ企业能获得3元利润，问该企业应安排生产 两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
建立数学模型如下：
m ax Z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 1 2 4x 16 1 s.t . 5 x2 1 5 x1 0, x2 0
“Max -- ≤ ”
“Min-- ≥”
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号， 变量非负；目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负。
例：写出线性规划问题的对偶问题
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
设y1，y2，y3分别为出租三种设备每小时的收费 • 约束条件：把设备租出去所获得的租金不应低于 利用这些设备自行生产所获得的利润
2 y1 4 y 2 2 出让代价应不低于
用同等数量的资源 2 y1 5 y3 3
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元 单位产品Ⅱ出租 收入不低于3元
y1 , y 2 , y 3 0
解：首先将原式变形 m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3
2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对偶问题： m i nW 2 y1 3 y2 5 y3 2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y1 , y2 , y3 0
模型对比：
m axZ 2 x1 3 x 2
2 x1 2 x 2 12 4x 16 1 s .t . （原问题） 5 x 2 15 x2 0 x1 0,一对对偶问题
厂 家
m i nW 12 y1 16 y 2 15 y 3
租 借
2 2 y1 4 y 2 s .t .2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
（对偶问题）
每一个线性规划(LP)必然有与之相伴而生的 另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP 都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原 问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”， 记为“D”。
二、线性规划的对偶理论
1、对偶问题的形式 （1）对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
自己生产的利润。
• 目标函数：所获租金总额尽量少 minW 12y1 16y2 15y3
该问题的数学模型为：
minW 12 y1 16 y2 15y3 2 2 y1 4 y2 s.t.2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
D：
min w bi yi
i 1
m
m aij yi c j ( j 1,2, , n) i 1 y 无符号限制（无约束） (i 1,2, , m) i
例： 原问题为
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
P: max z c j x j
j 1 n
D:
min w bi yi
i 1
m
n aij xij bi (i 1,2,, m) s.t. j 1 x j 0( j 1,2,, n)
m aij y i c j ( j 1,2,, n) s.t. i 1 yi 0(i 1,2,, m)
如何安排生产， 使获利最多？
下面从另一个角度来讨论这个问题： 假设该厂的决策者打算不再自己生产甲,乙产 品，而是把各种设备的有限台时数租让给其他工 厂使用，这时工厂的决策者应该如何确定各种设 备的租价。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
出 租
价格应该尽量 低，这样，才 能有竞争力
（1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。
（2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。
• 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。
• 线性规划问题也有对偶关系。
例：资源的合理利用问题
• 常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品 都要分别在 A 、 B 、 C 三种不同设备上加工。按工 艺资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别 为 2h 、 4h 、 0h ，生产每件产品Ⅱ需占用各设备分