因式分解法 (公开课)

一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
x2=p (p≥0)
配方法
(mx+n)2=p (p≥0)
公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2.什么叫因式分解? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做因式分解.
∴
x1=-2
,
x2=
5 3
(2)(3x+1)2－5= 0
解：原方程可变形为
平方差 公式.
(3x 1 5)(3x 1 5) 0
3x 1 5 0
3x 1 5 0
则x1

1 3
5
,
x2

1 3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式的 乘积。 3、至少有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4、两个 一元一次方程就的是解 原方程的解。
用因式分解法解方程:
(3)x2+6x-7=0
(3)(x 1)(x 7) 0
x 1 0或x 7 0
x1 1, x2 7
解方程：
(1)x2 4x 3 0;(2)x2 2x 3 0 (3)x2 10x 21 0;(4)x2 6x 7 0
对于一般的二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
个因式等于零.” ab 0 a 0,b 0
解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2) (2)(3x 1)2 5 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x( x 2) 5( x 2) 0
提公因 (x+2)(3x－5)=0 式. x+2=0或3x－5=0
小亮做得对吗?
可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。
分解因式法
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积
等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实
现降次，求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。
提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一
参考答案：
1.x1 2.x1

1
4
; x2 2 3 ; x2

7. 5 1.
3.x1 4.x1

3; 2
3; x2
x2
9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
6.x1

5;
x2


1 3
.
7.x1 1, x2 6.
练习
x1 2; x2 4.
2.4x2x1 32x1 0,
2x14x-3 0,
2x 1 0,或4x 3 0.
x1


1 2
,
x2

3 4
.
比一比,谁做的快!
解下列方程:
(1)4x2 25 0;(2)9x2 6x 1 0
1 .x2-4=0;
2.(x+1)2-25=0.
解：1.(x+2)(x-2)=0, 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1. 解 :1.x 2 0,或x 4 0.
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4) (2)(4x－3)2=(x+3)2
你能解决这个问题吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的:
公 解: x2 3x 0. 式
x 3 9. 法 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的:
0 0 0. 反过来,如果a b 0,
那么a 0或b 0
或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0,
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
3、公式法；
4、因式分解法.
适用部分一 元二次方程
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3);
4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
6.( x 2)2 2x 32; 7.(x 2)x 3 12;
小结
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解 一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
小结
一元二次方程的解法：
1、直接开平方法.
适用部分一元二ຫໍສະໝຸດ 2、配方法；次方程 适用任何一元二次方程
x 0,或5x 4 0.
4 x1 0; x2 5 .
2.x 2 xx 2 0,
x 21 x 0.
x 2 0,或1 x 0.
x1 2; x2 1.
ab 0
a 0,b 0
学习是件很愉快的事
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
4
4
解：移项，合并得：
4x2 1 0
因式分解，得：
(2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
则 x１

－１2 ，x２
１
2
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2);
解 : 1.5x2 4x 0,
x5x 4 0.
学以致用
1.不计算，请你说出下列方程的根.
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
(4)x2
2)(2x
x x1
1)
0,
0 x1
x2 1


2 3
,
x2

1 2
2.下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
(1)解方程：( x 2)(x 1) 3
解：( x 2)(x 1) 31
x 2 3, x 1 1 ×
则x1 1, x2 2
这个方程需要先转化为一般形式再求解.
(2)解方程： y2 4 y
解： y2 4 y ×
y4
根据等式性质，等式两边都除以一 个不为0的数时，等式仍然成立。上式 中，方程两边同除以y，而y有可能为0. 那么，这个方程应该怎样解呢？
漏 解 : 方程x2 3x两 根 边都同时约去x,得. x
x 3.
≠
这个数是3. 0
小明做得对吗?
探究 你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的: 0 3 0,15 0 0,
y2 4y
解：移项，得
y2 4y 0
因式分解，得
y( y 4) 0 y 0 或 y 4 0
则 y1 4, y2 0
解方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
分析：等号右边不为0，需要先移
项整理。使方程右边为0，再对方程左
边因式分解。
(1)5x2 2x 1 x2 2x 3
(3)3x3 6x2 3x 0
复习回顾
(1)x2 3x 4 x 4 x 1
1
二
次 项
(2)x2 3x 18 x 6 x 3
系
数
是
的 二
6 3
63
次
三
项
式 4 4 (1) 常数项分解成两个因数的积，
3 4 (1) 这两个因数的和恰好是一次项系数。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x 2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的因式分解，
借用一个十字叉帮助我们因式分解， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
－4
－4x－2x=－6x