§5-3 z变换的基本性质
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
第二节Z变换的性质
收敛域不变：∣Z∣>a Z k F ( Z ) ,Z f ( k ) a 例4：已知 (a为实数）的单边Z变换为 Z a
a
k 2 k 2 求： f1 (k ) a , f 2 (k ) a 的单边Z变换 2 解：F1 ( Z ) Z 2 F ( Z ) f (2) f (1) Z 1 a Z , Z a
例2：求单边余弦cos(βk)ε(k)和单边正弦sin (βk)ε(k)的Z变换 1 1 解： cos(k ) (e jk e jk ), sin(k ) (e jk e jk )
2 2j Z [cos(k ) (k )] 1 1 Z [e jk (k )] Z [e jk (k )] 2 2
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
ba (k 1)a k (k ), a b
当a=b=1时，则 (k ) (k ) (k 1) (k ) 又因为： (k )
Z Z , a k (k ) Z 1 Z a Z Z Z 2 (k 1) (k ) (k ) (k ) ( ) , Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 2 (k 1)a k (k ) a k (k ) a k (k ) ( ) ,Z a Z a
数字信号处理3z变换的基本性质与定理
dz
dz n
n
dz
x(n)(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
z1ZT [nx(n)]
ZT [nx(n)] z dX (z) dz
Rx z Rx
课件
6
5、共轭序列
若 ZT [x(n)] X (z) Rx z Rx 则 ZT [x*(n)] X *(z* ) Rx z Rx
n
n
x(n)( z 1 ) n
n
X
1 z
1
1
1
Rx
z
Rx
Rx
z
Rx
课件
8
7、初值定理
对于因果序列x(n)，有 lim X (z) x(0)
z
证：因为x(n)为因果序列
X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
x(0) x(1)z1 x(2)z2 K
lim X (z) x(0) z
课件
15
例：已知LSI系统的单位抽样响应：
h(n) bnu(n) abn1u(n 1)，
求系统输入x(n) anu(n)的响应。 解：X (z) ZT [x(n)] ZT [anu(n)] z
za
za
H (z) ZT [h(n)] ZT [bnu(n) abn1u(n 1)]
ZT [bnu(n)] aZT [bn1u(n 1)]
则 ZT [nx(n)] z d X (z)
dz
Rx z Rx
同理： ZT [n2 x(n)] ZT [n nx(n)]
z d {ZT[nx(n)]} dz
z
d dz
z
dX (z) dz
课件
5
§5-3 z变换的基本性质
R1 z R2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
ZT 例如： u (n)
大连海事大学信息科学技术学院
z z 1
z 1
1 1 z 1 u ( n) 1 1 z z 1 z 1
ZT
z 1
e
jn
z u (n) z e j
z m 1 z 1
m
则 x(n-m)=u(n-m)，其z变换等于
z 1 z m z ] 则 x(n+m)=u(n+m)，其z变换等于 z [ z 1 1 z 1 z 1
这应该与想象的结果一致：u(n)左移后的单边z变换不变。
《Signals & Systems》
《信号与系统》
m n0
m 1
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
以上结果也可以解释为：当序列右移时，相对于原序列在求单 边z变换时增加了m个样值信息，所以其表示式应该在原序列单边z 变换的基础上，加上这m个样值的信息。序列左移与前所述相同。
在利用单边z变换求解差分方程时，输入序列往往设定为n=0时 刻作用于系统的，因此输入序列被看成是因果序列。输出序列不仅 有零状态分量，还有零输入分量，因此输出序列被看成是非因果序 列。 例如：差分方程与输入序列x(n)及y(-1)如下，试求输出序列y(n)的z 变换。
m n0
m 1
以上结果可以这样解释：当序列右移时，相对于原序列在求单 边z变换时没有增加，也没有减少任何样值信息，所以其表示式与 双边z变换的表达式相同。而当序列左移时，相对于原序列在求单 边z变换时，减少了样值信息，因此应该减去这些样值对应的信息。
Z变换
0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ
z变换的基本知识
z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为（1）对式（1）作拉普拉斯变换（2）从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令（3）代入式（2）并令，得（4）式（4）定义为采样信号的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以表示。
由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。
的z变换的符号写法有多种，如等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是，并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式（5）或的有理分式（6）其分母多项式为特征多项式。
在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）（7）2 求z变换的方法1）级数求和法根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数的z变换。
解连续函数的采样信号表达式为对应的z变换式为上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为。
例2求单位脉冲函数的z变换。
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
Z变换的主要性质.
z
i1 z pi
y(kT )
n
Z 1[
Ai z ]
i1 z pi
n
Ai ( pi )k
i1
例2：见教材例3.13, 3.14.注意结果的最后表达
(2)有非零的重极点时， 二重极点展成
Y (z) A1 A2 A3 z (z p1)2 (z p1) (z p3 )
例1：求下式的Z反变换
Y
(z)
5z
2
12z 1.5z
0.5
2.4z z2 0.3z 0.1
(演算)
3
MATLAB程序： v=[0 12 0 0 0 0 0 0] u=[5 -1.5 0.5] [q, r]=deconv(v, u) q=[0 2.4 0.72 –0.024 –0.0792 –0.0214]
2) (z
zk 1)2 (z
2)
2k
f (kT ) K1 K2 2k k 1
11
复杂情况思考:
F (z)
z2 4 z3 2z
小结 :
Z反变换的方法
(1)长除法：deconv命令 (理解) (2)部分分式展开： (掌握) (3)留数计算法 (理解) 复习 P49-P59，预习P61-69 习题 3.9(1)、3.10
1(1)k1 1k(1)k1 2(2)k1
2k k 1
8
注意 Z 1[ 1 ] Z 1[z1 z ]
za
za
z1 Z 1[ z ] z1ak ak1 za
三 留数计算法（反演积分法）
f(kT)等于F(z)zk-1全部极点留数之和
阶跃函数的z变换步骤
阶跃函数的z变换步骤引言：阶跃函数是一种常见的信号函数，它在某个时刻突然从0跃升到1，代表了一个信号的启动或触发。
而z变换是一种将离散时间域信号转换为复频率域信号的数学工具。
本文将介绍阶跃函数的z变换步骤，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、阶跃函数的定义和特性阶跃函数常表示为u(t)，其中t为时间变量。
在t=0时刻，阶跃函数从0跃升到1，即u(0)=1。
在t<0时刻，阶跃函数为0，即u(t<0)=0。
阶跃函数的图像呈现出一种突变的特点。
二、z变换的定义和基本性质z变换是一种将离散时间序列转换为复频率域序列的方法。
z变换的定义为X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x(n)z^(-n)，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
z变换具有线性性质和时移性质等基本性质。
三、阶跃函数的z变换步骤1. 首先，我们需要将阶跃函数表示为离散时间序列。
对于阶跃函数u(t)，我们可以将其表示为u(nT)，其中T为采样周期，n为整数。
2. 接下来，我们将阶跃函数的离散时间序列代入z变换的定义中，得到X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) u(nT)z^(-n)。
3. 根据阶跃函数的定义，我们可以得到∑(n=-∞ to ∞)u(nT)z^(-n) = ∑(n=0 to ∞) z^(-n)。
4. 对于∑(n=0 to ∞) z^(-n)，我们可以使用等比数列求和的公式进行化简，得到X(z) = 1/(1-z^(-1))。
5. 最后，我们可以将X(z)进行进一步的化简，得到X(z) = z/(z-1)。
四、阶跃函数的z变换结果根据上述步骤，我们得到了阶跃函数的z变换结果X(z) = z/(z-1)。
这个结果可以帮助我们在复频率域中分析和处理阶跃函数。
结论：本文介绍了阶跃函数的z变换步骤。
首先，我们需要将阶跃函数表示为离散时间序列，然后将其代入z变换的定义中进行求解。
最后，我们得到了阶跃函数的z变换结果X(z) = z/(z-1)。
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
§5.5 Z变换的基本性质
六．时域卷积定理
若
H(z) = Z[ h(n)]
则
X(z) = Z[ x(n)]
(Rx1 < z < Rx2 ) (Rh1 < z < Rh2 )
Z[ x(n)*h(n)] = X(z)H(z)
收敛域：一般情况下， 收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分 即
4
x(n − 2)
x(n+ 2)
4
4
−1O 1 2
n
−1O 1 2
n
− 2−1O 1
n
若序列 x(n)的双边 变换为
z 变换为
Z [ x(n −m)] = z−mX(z)
Z [ x(n)] = X(z)，则其移位后的 z
收敛域： 收敛域：只影响 z = 0, z =∞ 处
二.位移性 位移性
1 y ) ) 例：LTIS的差分方程为 (n) + y(n −1 = x(n) + x(n −1 的差分方程为 2
ROC: z > max(enω0 , e−nω0 )
同理
sinh(nω )u(n) ↔ 0
z sh(ω ) 0 z2 −2z ch(ω ) +1 0
ROC: z > m ax(eω0 , e−ω0 )
二.位移性 位移性
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n)
n n −n
∞
∞
−n
同理
a−nx(n) ↔X(az) (−1 n x(n) ↔X(−z) )
(Rx1 < az < Rx2) (Rx1 < z < Rx2 )
z变换初值定理
z变换初值定理1.引言z变换是离散时间信号分析中重要的工具之一，它可以将差分方程变换成多项式形式，进而进行频域分析。
在z变换的应用中，初值定理是很重要的一条定理，本文将从初值定理的定义、推导、应用等方面进行介绍。
2.初值定理的定义z变换的初值定理是指，如果一个序列x[n]在所有的n>=0的样本值相同，那么它的z变换X(z)在z=1处的值等于序列的这个公共值，即X(1)=$\sum_{n=0}^{\infty}x[n]$3.推导过程为了证明初值定理，首先将z变换的定义式展开：$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$因为x[n]在所有的n>=0的样本值相同，所以有$x[n]=x[0]$，代入式子得：$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[0]z^{-n}=x[0]\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}$这里的$\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}$是一个几何级数，在|z|>1条件下，它收敛于$\frac{1}{1-z}$，对于z=1，这个式子的值是无穷大，因此不能直接代入得出结果。
但是在|z|<1的情况下，它收敛于$\frac{1}{1-z}$，因此可以在这个条件下进行代入：$X(z)=x[0]\frac{1}{1-z}$，当z=1时，得到初值定理的结论：$X(1)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]$4.初值定理的应用初值定理是一个非常基本的定理，它在z变换的应用中有着广泛的应用。
在控制系统的设计中，通过分析系统的初始响应，可以获得关于系统的信息，这个信息是通过系统的响应序列得到的，初值定理就是说明了响应序列在t=0时的值对系统的特性有很大的影响，因此在控制系统的分析中，初值定理也是非常重要的。
5.总结初值定理是z变换中的一个基本性质，它可以用来描述序列在t=0时的特征，进而对序列进行分析。
Z变换的基本性质 ppt课件
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
Z变换的基本性质
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
z变换应用实例
z变换应用实例摘要：一、引言二、Z变换的基本概念和性质1.离散时间信号与连续时间信号2.Z变换的定义与作用3.Z变换的基本性质三、Z变换的应用实例1.系统函数的Z变换2.系统稳定性分析3.信号与系统的频域分析四、Z变换在通信系统中的应用1.滤波器设计2.信号调制与解调3.信道均衡与补偿五、Z变换在控制系统中的应用1.控制器设计2.系统建模与仿真3.系统故障诊断与预测六、Z变换在其他领域的应用1.数字信号处理2.图像处理与计算机视觉3.金融与经济学中的应用七、Z变换的局限性与发展前景八、总结与展望正文：一、引言Z变换是一种广泛应用于信号与系统分析的数学工具，它将连续时间信号和离散时间信号从时域转换到频域，从而方便我们对信号进行频谱分析、系统稳定性判断等。
本文将介绍Z变换的基本概念和性质，并通过实例展示其在通信系统、控制系统以及其他领域的应用。
二、Z变换的基本概念和性质1.离散时间信号与连续时间信号在信号与系统分析中，我们通常将信号分为连续时间信号和离散时间信号。
连续时间信号是指数函数的形式，而离散时间信号是周期性的脉冲序列。
2.Z变换的定义与作用Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过Z变换，我们可以将复杂信号的时域特性分析转化为频域特性分析，从而更容易地理解信号的特性。
3.Z变换的基本性质Z变换具有线性、时移、尺度变换等基本性质，这些性质使得Z变换在信号与系统分析中具有广泛的应用。
三、Z变换的应用实例1.系统函数的Z变换在通信系统中，系统函数的Z变换用于分析系统的稳定性、传输特性等。
通过分析系统函数的零点和极点，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
2.系统稳定性分析在控制系统中，利用Z变换对系统进行稳定性分析是一种有效的方法。
通过分析系统的根轨迹，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3.信号与系统的频域分析在信号与系统分析中，Z变换可以将时域信号转换为频域信号，从而方便我们对信号进行频谱分析。
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三,z域微分性 域微分性
设序列及其z变换 设序列及其 变换 z域微分性是 域微分性是
ZT x(n) ←→ X ( z ) d ZT nx(n) ←→ z X ( z ) dz
z域微分性由 变换的定义式很容易证明.可以证明 域微分性由z变换的定义式很容易证明 域微分性由 变换的定义式很容易证明.
ZT n=0 m ∞ n
= ∑ x(k ) z
k =m
∞
( k m)
=z
m
n= m
∑ x ( n) z
∞
n
= z [ X ( z ) ∑ x ( n) z n ]
n=0
m 1
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以上结果也可以解释为:当序列右移时, 以上结果也可以解释为:当序列右移时,相对于原序列在求单 变换时增加了m个样值信息 边z变换时增加了 个样值信息,所以其表示式应该在原序列单边 变换时增加了 个样值信息,所以其表示式应该在原序列单边z 变换的基础上,加上这m个样值的信息 序列左移与前所述相同. 个样值的信息. 变换的基础上,加上这 个样值的信息.序列左移与前所述相同. 在利用单边z变换求解差分方程时,输入序列往往设定为 在利用单边 变换求解差分方程时,输入序列往往设定为n=0时 变换求解差分方程时 时 刻作用于系统的,因此输入序列被看成是因果序列. 刻作用于系统的,因此输入序列被看成是因果序列.输出序列不仅 有零状态分量,还有零输入分量, 有零状态分量,还有零输入分量,因此输出序列被看成是非因果序 列. 例如:差分方程与输入序列x(n)及y(-1)如下,试求输出序列 如下, 例如:差分方程与输入序列 及 如下 试求输出序列y(n)的z 的 变换. 变换.
R1 < z < R2
ZT x* (n) ←→ X * ( z * )
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ZT 例如: 例如: u (n) ←→
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z z 1
z >1
1 1 z 1 = = u ( n) ←→ 1 z 1 1 z z 1
ZT
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二,位移性
z变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性,特别是单边z变 变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性,特别是单边 变 变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性 j Im{z} 换的位移性,主要应用于差分方程的求解. 换的位移性,主要应用于差分方程的求解. 1,双边z变换的位移性: ,双边 变换的位移性 变换的位移性: 设序列及其z变换 设序列及其 变换 序列移位后的z变换 序列移位后的 变换
其z变换 变换 其中
X ( z) =
n = ∞
x(n) z n ∑
∞
∞ 1 n n 1 n n = ∑( ) z n z 1 ∑0 ( 2 ) z = 1 收敛域 z > 2 n= z 2 ∞ 1 1 n n z ∑0 ( 3 ) z = 1 收敛域 z > 3 n= z 3 所以 z z 1 X (z) = + 1 1 收敛域 z > z z 2 2 3
ZT n k x(n) ←→ z
d d { z X ( z )} dz dz
K次相同运算 次相同运算
记作
ZT n k x(n) ←→( z
d k ) { X ( z )} dz
ZT 例如: 例如: u (n) ←→
z z 1
z 1 z d z ] nu (n) ←→ z [ ] = z[ 2 ( z 1) dz z 1
z <1
e
jωn
z u (n) ←→ z e jω
ZT
ZT
z >1
e
j ωn
z z* * = u (n) ←→[ * ] jω z e jω z e
z >1
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六,时域扩展
设序列及其z变换 设序列及其 变换 则有当
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2,单边z变换的位移性: ,单边 变换的位移性 变换的位移性: 单边z变换的位移性,在序列是因果的与非因果, 单边 变换的位移性,在序列是因果的与非因果,左移还是右移 变换的位移性 其表示式是不同的. 时,其表示式是不同的. 单边z变换的定义式是: 单边 变换的定义式是: X ( z ) = ∑ x(n) z n 变换的定义式是
n= 0 ∞
因果序列: ⑴ 因果序列:x(n)=x(n)u(n)
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n= 0 ∞
z > R1
i,右移:x(n-m)=x(n-m)u(n-m) ,右移:
x(n m) ←→ ∑ x(n m) z
ZT n= m ∞ n
= ∑ x(k ) z
k =0
∞
(k + m)
ZT
=
z ( z 1) 2
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四,z域尺度变换 域尺度变换
设序列及其z变换 设序列及其 变换 则有
ZT
ZT x(n) ←→ X ( z )
R1 < z < R2
R1 < a 1 z < R2
ZT a n x(n) ←→ X (a 1 z )
3 2 1
0 1 2 3 4 5
n
3 2 1
0 1 2 3 4 5
n
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七,卷积定理
设序列及其z变换 设序列及其 变换 1,时域卷积定理 ,
ZT x1 (n) x2 (n) ←→ X 1 ( z ) X 2 ( z ) ZT x1 (n) ←→ X 1 ( z )
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非因果序列: 可能是有始的, ⑵ 非因果序列:x(n)可能是有始的,也可能是双边的. 可能是有始的 也可能是双边的. i,右移:x(n-m) ,右移:
x(n m) ←→ ∑ x(n m) z
ZT n=0 ∞ n
z 例如:x(n)=u(n),其z变换等于 例如: , 变换等于 z 1
则 x(n-m)=u(n-m),其z变换等于 , 变换等于
z 1 z m z ] = 则 x(n+m)=u(n+m),其z变换等于 z [ , 变换等于 1 z 1 1 z z 1
m
z m +1 z 1
这应该与想象的结果一致: 左移后的单边z变换不变 这应该与想象的结果一致:u(n)左移后的单边 变换不变. 左移后的单边 变换不变.
ZT x(n) ←→ X ( z )
R1 < z < R2
X 1 ( z) = X ( z k )
n x( ) n = ki , k , i为整数 x1 (n) = k 0 n ≠ ki
R1 < z k < R2
x(n)
3
x1 (n)
3
2 1
2 1
n x( ) n = 2i , i为整数 x1 (n) = 2 0 n ≠ 2i
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∞
j Im{z}
1 2
1 3
Re{z}
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例如: 例如:
δ(n) = u (n) u (n 1)
z z 1 1 z 1
j Im{z}
其中u(n)的z变换 的 变换 其中 其中u(n-1)的z变换 的 变换 其中 而δ(n)的z变换 的 变换
=z
m
x ( n) z n ∑
n=0
∞
= z m X (z )
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ii,左移:x(n+m)=x(n+m)u(n+m) ,左移:
x(n + m) ←→ ∑ x(n + m) z
ZT n=0 ∞ n
= ∑ x(k ) z
k =m
∞
( k m)
=z
m
n= m
x ( n) z n ∑
∞
= z [ X ( z ) ∑ x ( n) z n ]
m n=0
m 1
以上结果可以这样解释:当序列右移时, 以上结果可以这样解释:当序列右移时,相对于原序列在求单 z变换时没有增加 也没有减少任何样值信息, 变换时没有增加, 边z变换时没有增加,也没有减少任何样值信息,所以其表示式与 双边z变换的表达式相同 而当序列左移时, 变换的表达式相同. 双边 变换的表达式相同.而当序列左移时,相对于原序列在求单 变换时, 边z变换时,减少了样值信息,因此应该减去这些样值对应的信息. 变换时 减少了样值信息,因此应该减去这些样值对应的信息.
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§5-3
一,线性
Z变换的基本性质 变换的基本性质