【新高考数学】抛物线考点精讲(含答案解析)
第5讲抛物线
考点一 抛物线的定义及运用
1.已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2,则M 的横坐标是 。
2.已知抛物线2:12C x y =上一点P ,直线:3l y =-,过点P 作PA l ⊥,垂足为A ,圆22
:(4)1
M x y -+=上有一动点N ,则||||PA PN +最小值为 。
3.已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的1
5
,则点M 的坐标为 。
4.若点A 为抛物线24y x =上一点,F 是抛物线的焦点,|6|AF =,点P 为直线1x =-上的动点,则
||||PA PF +的最小值为 。
考点二 抛物线的标准方程
1.抛物线()2
20y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点,则p = 。
2.已知A ,B 是过抛物线22y px =(0p >)焦点F 的直线与抛物线的交点,O 是坐标原点,且满足
2AF FB =,||3
OAB S AB ?=
,则抛物线的标准方程为 。
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.已知抛物线的方程为24y x =,直线l 过定点()2,1P -,斜率为k ,k 为何值时,直线l 与抛物线24y x = (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点;
(3)没有公共点?
2.设双曲线x 2a 2?y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =1
2x 2+2相切,则该双曲线的离心率为 。
3.已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =,过点(0,1)A -和点(3)B t ,
的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 。
4.过点()0,1与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 。
4.已知直线:4=-l y mx 和抛物线2:8C y x =,若l 与C 有且只有一个公共点,则实数m 的值为_________.
5.若直线1y kx =+与抛物线24y x =有且只有一个公共点,则k 的值是_______.
6.若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线,则c =__________.
7.已知直线()11y a x =+-与抛物线()20y ax a =≠恰有一个公共点,则a =_______.
第5讲 抛物线
考点一 抛物线的定义及运用
1.已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2,则M 的横坐标是 。 【答案】
74
【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4
F ,准线方程为1
4x =-,
设点M 的横坐标为0x ,根据抛物线的定义,0017
||2,44
MF x x =+
=∴=. 2.已知抛物线2:12C x y =上一点P ,直线:3l y =-,过点P 作PA l ⊥,垂足为A ,圆22
:(4)1
M x y -+=上有一动点N ,则||||PA PN +最小值为 。 【答案】4
【解析】设抛物线C 的焦点为F ,则(0,3)F ,因为直线:3l y =-为抛物线的准线,所以||||PA PF =,所
以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==,当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时,等号成立.
3.已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的1
5
,则点M 的坐标为 。 【答案】()1,4-
【解析】设(,)M x y ,则根据题意及抛物线的定义可得:1
(4)5
x x =
+,解得1x =, 代入抛物线方程得:4y =±,又点M 在第四象限,所以4y =-,故(1,4)M -.
4.若点A 为抛物线24y x =上一点,F 是抛物线的焦点,|6|AF =,点P 为直线1x =-上的动点,则
||||PA PF +的最小值为 。
【答案】【解析】由抛物线的定义得: |162
=+
=+=A A p
|AF x x ,5A x =,
代入2
4y x =得:220=A y ,不妨设(5,A ,
点F 关于直线1x =-的对称点为()3,0E -,
||||||||+=+≥=
=PA PF PA PE AE 考点二 抛物线的标准方程
1.抛物线()2
20y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点,则p = 。
【答案】8
【解析】抛物线()2
20y px p =>的焦点为,02p ??
???
,
双曲线2
2
x y p -=,为22
1x y p p
-=,则22c p =,c =焦点为:)或()
,所以有
2
p
=,解得0p =或8p =,又因为0p >,所以8p =. 2.已知A ,B 是过抛物线22y px =(0p >)焦点F 的直线与抛物线的交点,O 是坐标原点,且满足
2AF FB =,||OAB S AB ?=
,则抛物线的标准方程为 。 【答案】2
4y x =
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =,
则122y y =-,又由抛物线焦点弦性质, 2
12y y p =-,
所以22
22y p -=-,得21,2
y p y =
=, 11322AF BF BF p
+== , 得339
,,424
BF p AF p AB p =
==.
21219(|))22834
OAB p S y y p p ?=
??+==? , 得2p = ,抛物线的标准方程为2
4y x =
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.已知抛物线的方程为24y x =,直线l 过定点()2,1P -,斜率为k ,k 为何值时,直线l 与抛物线24y x = (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点?
【答案】(1)0k =或12k =
或1k =-,(2)112k -<<且0k ≠,(3)1
2
k >或1k <- 【解析】设直线l 的方程为:1(2)y k x -=+,即(2)1y k x =++. 联立2222
2
(2)1(424)44104y k x k x k k x k k y x
=++??++-+++=?
=? (1)因为直线与抛物线只有一个公共点,
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有一个根. 当0k =时,410x -+=,符合题意.
当0k ≠时,2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++=, 整理得:2210k k +-=,解得1
2
k =或1k =-. 综上可得:0k =或1
2
k =
或1k =-. (2)因为直线与抛物线有两个公共点,
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有两个根. 所以0k ≠,2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++>, 即2210k k +-<,解得1
12
k -<<
且0k ≠. (3)因为直线与抛物线没有公共点,
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=无根. 所以0k ≠,2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++<, 即2210k k +->,解得1
2
k >
或1k <-. 2.设双曲线x 2
a 2?y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =1
2x 2+2相切,则该双曲线的离心率为 。 【答案】√5
【解析】双曲线渐近线为y =±b
a x ,不妨取y =b
a x ,联立渐近线与抛物线方程得 x 2?
2b a
x +4=0∵ 渐近线与抛物线相切∴(?
2b a
)2
?4×1×4=0∴
4b 2a 2
=16∴b 2=4a 2
∴c 2=a 2
+b 2
=5a 2
∴e =√c 2
a 2=√5。
3.已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =,过点(0,1)A -和点(3)B t ,
的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 。
【答案】(,)-∞?+∞
【解析】据已知可得直线AB 的方程为41y x t
=-,联立直线与抛物线方程,得241
{12
y x t
x y
=
-=,消元整理,
得2
4210x x t -+=,由于直线与抛物线无公共点,即方程24210x x t -+=无解,故有24
()80t
--<,解
得t >
或t <
4.过点()0,1与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 。 【答案】3
【解析】易知点(0,1)在抛物线2
2(0)y px p =>外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x
轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点.共有3条.
4.已知直线:4=-l y mx 和抛物线2:8C y x =,若l 与C 有且只有一个公共点,则实数m 的值为_________. 【答案】0或1
2
-
【解析】当斜率0m = 时,直线:4=-l y mx 平行于x 轴,与抛物线2
8y x =仅有一个公共点.当斜率不
等于0时,把4y mx =-代入抛物线2
8y x =得 ()2288160m x m x +--+=,
由题意可得,此方程有唯一解,
故判别式()2
2884160m m ?=---?=,12
m ∴=-, 故答案为:0或12
-
. 5.若直线1y kx =+与抛物线24y x =有且只有一个公共点,则k 的值是_______. 【答案】0或1
【解析】①当直线1y kx =+与x 平行时,方程为1y =,0k =,与抛物线2
4y x =只有一个公共点,坐标
为1,14??
???
, ②当0k ≠时,方程1y kx =+与抛物线方程联立,消去y 得
()222410k x k x +-+=,
()2
22440k k ?=--=,解得1k =,
切线方程为1y x =+, 综上,0k =或1, 故答案为:0或1.
6.若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线,则c =__________. 【答案】1-
【解析】联立直线和抛物线得到2210
x cy x y
-+=??=?2210cx x ?--=01c ??=?=-.
故答案为:1-.
7.已知直线()11y a x =+-与抛物线()20y ax a =≠恰有一个公共点,则a =_______. 【答案】4
5
-
或1- 【解析】当10a +=时,即当1a =-时,直线的方程为1y =-,抛物线的方程为2
y x =-,
联立直线与抛物线的方程2
1y y x =-??
=?,解得1
1
x y =??=-?,此时直线与抛物线只有一个交点; 当10a +≠且0a ≠时,即当1a ≠-且0a ≠时,联立()2
11y a x y x
?=+-?
=?,
得()2
10a y ay a +--=,则()()2
41540a a a a a ?=++=+=,解得45
a =-. 因此,45a =-或1-.故答案为:4
5
-或1-.