第6章弯曲应力-11-12分析

F a
F FQ
M
F Fa
2
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
㈠实验观察： 变形前： 变形后：
表面现象
F
m a o
b m
F
n a o
b n
mn
M
a' o'
a' o'
M
b'
b'
m
n
⑴横向线仍为直线 ，但相对转动了一个角度，仍垂直于纵
向线。
⑵纵向线变成圆弧，a' a'缩短，b' b'伸长
⑶梁的横截面高度不变，上宽下窄。
10
第五章弯曲应力 §5.3横力弯曲时的正应力
经过分析：细长梁横力弯曲时，横截面上正应力分布 规律，与纯弯时的正应力分布基本相似。
㈠公式
max
Mmax ymax Iz
令：W Iz ymax
抗弯截面模量，与截面几何性质有关，单位：m3
max
Mmax W
矩形：W Iz 1 bh2 ymax 6
8
近似认为均布
⑶腹板上的剪力:Q1=(0.95-0.97)Q
近似:
max
FS bh
⑷翼缘上的剪应力很复杂且很小,忽略。
22
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
㈢圆形截面
⒈假设：
⑴圆上AB弦各点的剪应力作用线P过点
⑵弦AB上各点的剪应力的垂直分量相等
⒉公式
y
FS Sz* Izb
讨论：在中性轴上，
max
' dM SZ* FS Sz*
dx IZb Izb
FS Sz*
Izb
横截面上的剪应力公式
19
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
h
Sz*
A1
y1dA
h b(
2
h y)(
2
2
2
y )
b h2 (
24
y2)
FS
h2 (
y2 )
bIz 4
讨论:
⑴ 沿截面高度,
τ按抛物线变化
⑵ 当y=0时,中性轴上,
② 1 ?
7
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
⒉∑My=0
( dA)z 0 Me A E
A yzdA 0
A yzdA 0
y为对称轴 上式自然满足
z(中性轴)
O y
x dA
z
y
8
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
⒊∑Mz=0 M Me 0 Me
M A ( dA) y
4 FS
3 R2
4 3
平均
例题
23
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
㈣剪切强度条件
max
Qmaxs*z max Izb
[ ]
例：Q ql mx
M 1 ql2 max 2
max
M max W
3ql 2 bh2
max
3 2
ql bh
max 2 l
max
h
对非薄壁细长梁：lh，σmaxτmax
例题
12
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
17
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
㈠矩形截面梁
假设:⑴横截面上各点的剪应力
都平行于剪力FS ⑵剪应力沿截面宽度均布
FN1
dA
A1
A1为侧面Pn1的面积
FN 2
(M dM ) y1 dA M dM
A1
Iz
Iz
A1
y1dA
M
dM Iz
3
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
㈡假设
由表及里
⒈平面假设：横截面仍为平面。
⒉纵向纤维无挤压。即：纵向纤维只是单向受拉、压。
中性层：
中性轴：中性层与横截面的交线，用z轴
∴中性轴把横截面分为两个区：受拉区与受压区
横截面
中性层
中性轴
4
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
㈢变形几何关系 数量关系
max
3 2
FS bh
1.5 平均
⑶ yh 0
2
20
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
㈡工字形截面
FS Sz*
Izb
其中:
问：
S
* Z
0
吗？
S
* z
B[ H 2
h][ h 22
1(H 22
h)] 2
b( h 2
y)[ y
1(h 22
y)]
B
(H 2
h2 )
b
h2 (
y2 )
8
24
FS
[B (H2
第五章弯曲应力
第六章 弯曲应力
§6.1 纯弯曲 §6.2 纯弯曲时的正应力 §6.3 横力弯曲时的正应力 §6.4 弯曲切应力 §6.5 提高弯曲强度的措施
1
第五章弯曲应力 §5.1 纯弯曲
M引起正应力,Q引起剪应力 纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩，无剪力 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩，又有剪力
F a
S
* z
其中：Sz* A1 y1dA
S
* z
距中性轴为z以外部分的面积对中性轴的静矩
18
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
同理：FN 1
M Iz
S z*
顶面pr：FS=τbdx
X 0 FN2 N1 Q' 0
M
dM Iz
Sz*
M Iz
S
* z
'bdx
0
dM IZ
S
* Z
' bdx
F
F
mn
bb dx OO OO d
o
o
yb
b
x
bb ( y)d
mn
y
x
dx
b'b' bb ( y)d d y
d
bb
d
y
Mm y o' b' m
n
M
o'
b'
n
5
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
㈣物理关系
当σ≤σP时,
E E y
任意纤维的正应力与它到中性层的距离y成正比 即:横截面上任意点的正应力与它到中性轴的距离成 正比
M E
A
y 2dA
E
Iz
1 M
EIz
E y My Iz
z(中性轴)
O y
M
x dA
z
y
纯弯时正应力公式 My
Iz
9
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
讨论: ⑴适用范围: σ≤σP ⑵适用于其它有纵向对称面的梁 ⑶σ有正负
注意：一般用公式求大小,根据变形判断正负.
⑷小曲率梁近似可用。
圆形：W Iz 1 d 3
ymax 32
11
第五章弯曲应力 §5.3横力弯曲时的正应力
㈡强度条件
max
M max W
[ ]
讨论：
⒈塑性材料
[ t ] [ c ] [ ]
只需求出整个梁的σmax，则σmax≤[σ] ⒉脆性材料
[ t ] [ c ]
需要求出σtmax和σcmax,则:σtmax≤[σt] σcmax≤[σc]
Me
z
x
y
Fra Baidu bibliotekmin
M
max
min M max
6
第五章弯曲应力 §5.2纯弯曲时的正应力
㈤静力关系
Me
X 0 My 0 Mz Me
⒈∑X=0
A dA 0
E
A
1
ydA
0
E
1
A
ydA
0
sz A ydA 0 Ayc
yc 0
∴中性轴过形心
z(中性轴)
O
x
dA
y
z
y
E E y
两个问题： ①中性轴的位置？
h2 )
b h2 (
y2 )]
Izb 8
24
21
第五章弯曲应力 §5.4弯曲剪应力
FS
[B (H2
h2 )
b h2 (
y2 )]
Izb 8
24
讨论:
⑴ 腹板τ沿高度抛物线变化
⑵ y0
max
FS
BH 2 [
Izb 8
h2 (B b) ]
8
y
h 2
,
min
FS
BH 2 [
Izb 8
B
h2 ]